[论文解读] Smooth classifying spaces

J. Daniel Christensen, Enxin Wu|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文通过使用光滑仿射空间（diffeological spaces）构建主丛的光滑分类空间理论，引入D-可数丛以克服光滑范畴中同伦不变性失效的问题。该文构造了光滑的 universal 捆 EG → BG，用于分类 D-可数主 G-丛，并证明了光滑同伦类与此类丛的同构类之间存在双射关系。

ABSTRACT

We develop the theory of smooth principal bundles for a smooth group $G$, using the framework of diffeological spaces. After giving new examples showing why arbitrary principal bundles cannot be classified, we define $D$-numerable bundles, the smooth analogs of numerable bundles from topology, and prove that pulling back a $D$-numerable bundle along smoothly homotopic maps gives isomorphic pullbacks. We then define smooth structures on Milnor's spaces $EG$ and $BG$, show that $EG o BG$ is a $D$-numerable principal bundle, and prove that it classifies all $D$-numerable principal bundles over any diffeological space. We deduce analogous classification results for $D$-numerable diffeological bundles and vector bundles.

研究动机与目标

• 为解决光滑主丛分类中同伦不变性失效的问题，即光滑同伦的映射可能诱导非同构的拉回丛。
• 利用微分几何空间上的光滑单位分解，发展可数丛的光滑类比——D-可数丛。
• 为微分几何群 G 构造光滑的 universal 捆 EG → BG，使其用于分类 D-可数主 G-丛。
• 通过伴随丛构造，将分类理论扩展至 D-可数微分几何丛与向量丛。
• 基于微分几何同伦理论，为光滑示性类与光滑 K-理论提供理论基础。

提出的方法

• 采用微分几何空间的框架，将光滑结构推广至流形之外，从而能够处理函数空间、商空间与奇异空间。
• 将 D-可数丛定义为存在一个平凡化覆盖的光滑单位分解的主丛，以确保拉回的同伦不变性。
• 将 EG 与 BG 构造为 Milnor 的 universal 捆的集合论类比，但为其赋予微分几何结构以保证光滑性。
• 通过一个关键的光滑函数 F 证明投影映射 EG → BG 是 D-可数主 G-丛，该函数用于检测光滑非负函数的零点。
• 使用光滑函数 F: C∞(ℝ, ℝ≥0) → ℝ≥0，定义为：若 f > 0 在 [0,1] 上，则 F(f) = exp(−exp(∫₀¹ 1/f(x) dx))，否则为 0，以替代同伦论论证中非光滑的 min 函数。
• 在任意微分几何空间 B 上，建立光滑同伦类 [B, BG] 与 D-可数 G-丛的同构类 Prinᴳᴰ(B) 之间的自然双射。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何标准分类空间在微分几何主丛的设定下失效？
• RQ2 在微分几何范畴中，何种光滑类比的可数丛能确保拉回的同伦不变性？
• RQ3 Milnor 的 universal 捆 EG 与 BG 能否被赋予光滑结构，以在微分几何框架中作为分类空间？
• RQ4 如何将 D-可数主丛的分类推广至微分几何丛与向量丛？
• RQ5 在同伦论构造中，何种光滑函数可替代非光滑的最小函数，以检测光滑正函数的零点？

主要发现

• 存在光滑同伦可缩的微分几何空间上的光滑主丛，使得恒等映射与常值映射虽光滑同伦，但诱导的拉回丛不同构，表明不存在对所有光滑主丛都成立的分类空间。
• D-可数主 G-丛满足关键性质：沿光滑同伦的映射拉回的丛彼此同构，从而保证了同伦不变性。
• 定义在 C∞(ℝ, ℝ≥0) 上的光滑函数 F 能够检测函数在 [0,1] 上是否为零，且该函数本身光滑，尽管其构造依赖于非光滑的最小函数。
• 将 EG 与 BG 构造为微分几何空间，可得到一个 universal D-可数主 G-丛 EG → BG，该丛可分类任意微分几何空间 B 上的所有 D-可数 G-丛。
• 双射 [B, BG] → Prinᴳᴰ(B) 关于 B 是自然的，且 BG 作为 D-可数 G-丛的分类空间，在光滑同伦等价意义下唯一。
• 该理论可推广至通过微分几何群 Diff(F) 分类 D-可数微分几何丛（纤维为 F），并通过伴随丛构造分类 D-可数向量丛。