[论文解读] Smooth loop stacks of differentiable stacks and gerbes

David Roberts, Raymond F. Vozzo|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文引入了从圆周到李群胚的伪函子的弗雷chet-李群胚，为可微栈 $\mathcal{X}$ 的同态栈 $\sigma\underline{\mathcal{H}om}(S^1, \mathcal{X})$ 提供了一个光滑表示。关键贡献在于构造了主丛叠的环路栈：将该构造应用于流形 $M$ 上主丛叠的群胚底，可得到环路空间 $LM$ 上的新主丛叠，且保持如联络等几何结构。

ABSTRACT

Résumé. Nous définissons un groupoïde de Fréchet-Lie Map(S^1,X) d'ana-foncteurs du cercle vers un groupoïde de Lie X. Ceci fournit une présentation du Hom-champ Hom(S^1,\cX), où \cX est le champ différentiable associé à X. Nous appliquons cette construction au groupoïde de Lie sous-jacent au `gerbe fibré' d'une variété différentiable M; le résultat est un gerbe fibré au-dessus de l'espace des lacets LM de M. Abstract. We define a Fréchet--Lie groupoid Map(S^1,X) of anafunctors from the circle into a Lie groupoid X. This provides a presentation of the Hom-stack Hom(S^1,\cX), where \cX is the differentiable stack associated to X. We apply this construction to the Lie groupoid underlying a bundle gerbe on a manifold M; the result is a bundle gerbe on the loop space LM of M.

研究动机与目标

• 通过弗雷chet-李群胚定义可微栈的光滑且几何上行为良好的环路栈构造。
• 将环路栈的概念从拓扑或微分几何设定扩展到支持微分几何的框架。
• 将该构造应用于主丛叠，生成环路空间 $LM$ 上的新主丛叠，并保持兼容的几何结构。
• 建立主丛叠的环路栈继承主丛叠结构并可支持联络结构。
• 为在环路空间背景下研究更高阶几何对象（如弦2-群主丛叠）提供基础。

提出的方法

• 定义从圆周 $S^1$ 到李群胚 $X$ 的伪函子的弗雷chet-李群胚 $\operatorname{Map}(S^1, X)$，使用进入群胚的光滑映射。
• 证明该群胚为与李群胚 $X$ 关联的可微栈 $\mathcal{X}$ 的同态栈 $\underline{\mathcal{H}om}(S^1, \mathcal{X})$ 提供光滑表示，确保光滑性与叠结构的相容性。
• 将该构造应用于流形 $M$ 上主丛叠的群胚底，得到环路空间 $LM$ 上的新群胚。
• 通过验证主丛叠公理（特别是局部平凡态射的存在性与平凡化开覆盖的存在性）证明所得群胚是 $LM$ 上的主丛叠。
• 利用包含拉回与 $X^\mathbb{2}$ 作用的图表推理，证明阿贝尔主丛叠的环路栈本身是 $LM$ 上的阿贝尔主丛叠，结构群为 $LA$。
• 利用该构造保持积（至等价）的性质，使该方法可扩展至如弦群这样的相干微分几何2-群。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用无限维李群胚为可微栈定义光滑环路栈构造？
• RQ2 流形 $M$ 上主丛叠的环路栈是否继承为环路空间 $LM$ 上的主丛叠结构？
• RQ3 该环路栈构造能否在主丛叠情形下保持联络与曲率等几何数据？
• RQ4 流形 $M$ 上阿贝尔 $A$-主丛叠的环路栈是否为 $LM$ 上的 $LA$-主丛叠？
• RQ5 该构造能否应用于弦2-群等高阶结构的无限维模型？

主要发现

• 从李群胚 $X$ 到圆周 $S^1$ 的伪函子群胚 $\operatorname{Map}(S^1, X)$ 是弗雷chet-李群胚，为同态栈 $\underline{\mathcal{H}om}(S^1, \mathcal{X})$ 提供光滑表示。
• 将该构造应用于流形 $M$ 上主丛叠的群胚底，可得到 $LM$ 上的主丛叠，且保持主丛叠结构。
• 流形 $M$ 上阿贝尔 $A$-主丛叠的环路栈是 $LM$ 上的 $LA$-主丛叠，确立了主丛叠结构向环路空间的自然提升。
• 该构造与光滑结构相容，支持单位分解并可在环路栈上进行光滑几何分析。
• 该方法适用于无限维模型，如弦2-群的BCSS模型，表明 $\mathbb{L}\operatorname{String}_G^{\text{BCSS}}$ 是一个相干微分几何2-群。
• 结果支持在环路主丛叠上定义与研究联络结构的可能性，将主丛叠理论扩展至环路空间。