[论文解读] Smooth one-dimensional topological field theories are vector bundles with connection

Daniel Berwick-Evans, Dmitri Pavlov|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文证明了流形 X 上的光滑 1 维定向拓扑场论等价于 X 上的向量丛与联络，通过一种基于切割公理而非粘合公理的新颖光滑 bordism 范畴。关键贡献在于通过光滑 ∞-范畴与下降理论精确表述了光滑场论，证明场论数据可归约为平行移动，从而通过光滑设定下的 1 维 bordism 假说对带有联络的向量丛进行分类。

ABSTRACT

We prove that smooth 1-dimensional topological field theories over a manifold are equivalent to vector bundles with connection. The main novelty is our definition of the smooth 1-dimensional bordism category, which encodes cutting laws rather than gluing laws. We make this idea precise through a smooth version of Rezk's complete Segal spaces. With such a definition in hand, we analyze the category of field theories using a combination of descent, a smooth version of the 1-dimensional cobordism hypothesis, and standard differential-geometric arguments.

研究动机与目标

• 定义一个编码切割规律而非粘合规律的光滑 1 维 bordism 范畴，以实现与微分几何的兼容性。
• 在流形 X 上建立光滑 1 维拓扑场论与带有联络的向量丛之间的确切等价关系。
• 使用完全 Segal 空间与 Reedy 模型结构，提供 1 维 bordism 假说的光滑变体。
• 通过下降理论与光滑 ∞-范畴，将框架推广至高维及非拓扑场论。
• 形式化平行移动数据与 bordism 上场论取值之间的对应关系，表明后者由路径表示唯一确定。

提出的方法

• 将光滑 ∞-范畴定义为完全 Segal 空间的光滑版本，利用模型范畴中单纯对象上的 Reedy 模型结构。
• 通过切割函数与莫尔斯理论构造光滑 1 维 bordism 范畴，其中态射为带有映射到 X 及具有正则值的高度函数的 1-流形。
• 利用下降理论将场论在 bordism 上的取值与光滑路径范畴的表示联系起来，从而将场论数据约化为平行移动。
• 应用光滑设定下的 1 维 bordism 假说，证明场论通过 X 的光滑路径范畴分解，且由带有联络的向量丛分类。
• 利用单纯结构中的退化映射与面映射，对恒等 bordism 及处理分解（0-与 1-柄）进行建模。
• 使用 Reedy 模型结构分析单纯函子范畴中的 fibrant 与 cofibrant 对象，以确保场论具有正确的同伦行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义一个尊重微分几何结构与切割公理而非粘合公理的光滑 1 维 bordism 范畴？
• RQ2 光滑 1 维拓扑场论与带有联络的向量丛之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否通过光滑 ∞-范畴与下降理论，将 1 维 bordism 假说推广至光滑设定？
• RQ4 路径上的平行移动数据如何重构任意 1 维 bordism 上的场论取值？
• RQ5 莫尔斯理论与切割函数在分解 bordism 及约简场论计算中起什么作用？

主要发现

• 流形 X 上光滑 1 维定向拓扑场论的空间，等价于 X 上有限维向量丛与联络及其保持联络的同构构成的范畴的神经复形。
• 该等价关系在 X 上自然成立，且通过光滑设定下的 1 维 bordism 假说实现，其中场论通过 X 的光滑路径范畴分解。
• 连通 bordism 上的场论取值由路径上的平行移动数据决定，0-与 1-柄被约简为路径复合及临界点处的驻定性。
• 光滑 bordism 范畴通过切割函数与莫尔斯理论定义，确保每个 bordism 均可分解为基本部分（点、0-柄、1-柄），且切割点处具有正则值。
• 光滑场论范畴等价于从 X 的光滑路径范畴到光滑 ∞-范畴的向量空间的 C∞-函子，后者对带有联络的向量丛进行分类。
• 该结果可推广至高维及非拓扑场论，其方法依赖于下降理论与光滑 ∞-范畴，为未来扩展奠定基础。