[论文解读] Smoothness of isometric flows on orbit spaces and applications to the theory of foliations

Marcos M. Alexandrino, Marco Radeschi|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 3

一句话总结

本论文证明了在恰当等距作用的轨道空间 $M/K$ 上，连续等距流必然是光滑的，且可提升为 $M$ 上的 $K$-等变光滑流。其核心贡献在于证明了此类流的光滑性，从而解决了关于轨道型叶状结构的Molino猜想，并确认了轨道空间上等距作用的光滑性。

ABSTRACT

We prove here that given a proper isometric action $K imes M o M$ on a complete Riemannian manifold $M$ then every continuous isometric flow on the orbit space $M/K$ is smooth, i.e., it is the projection of an $K$-equivariant smooth flow on the manifold $M$. As a direct corollary we infer the smoothness of isometric actions on orbit spaces. Another relevant application of our result concerns Molino's conjecture, which states that the partition of a Riemannian manifold into the closures of the leaves of a singular Riemannian foliation is still a singular Riemannian foliation. We prove Molino's conjecture for the main class of foliations considered in his book, namely orbit-like foliations.

研究动机与目标

• 建立恰当等距作用产生的轨道空间 $M/K$ 上连续等距流的光滑性。
• 解决Molino猜想，即奇异黎曼叶状结构中叶的闭包构成另一个奇异黎曼叶状结构。
• 将Myers-Steenrod定理推广至轨道空间与奇异黎曼叶状结构的设定。
• 为商空间上的等距流提供在原始流形上 $K$-等变流的光滑提升。
• 确认在适当条件下，轨道空间的等距群必为李群。

提出的方法

• 利用恰当等距作用的结构，通过 $K$-不变光滑函数的拉回，在轨道空间 $M/K$ 上定义光滑结构。
• 通过证明连续等距流可提升为 $M$ 上的 $K$-等变光滑流，从而证明 $M/K$ 上的连续等距流是光滑的。
• 应用子度量与黎曼子丛理论，分析轨道空间的局部几何。
• 利用奇异黎曼叶状结构（SRF）及其叶空间的概念，将齐性作用的结果推广。
• 在法空间上构造度量 $\mathrm{g}_{\textsf{N}}$，以分析横截几何与等距性。
• 使用相似变换与收敛性论证，将度量 $\tilde{g}_\lambda$ 与 $\mathrm{g}_{\textsf{N}}$ 关联，同时保持等距性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将恰当等距作用的轨道空间 $M/K$ 上的连续等距流提升为 $M$ 上的光滑 $K$-等变流？
• RQ2 奇异黎曼叶状结构中叶的闭包是否构成另一个奇异黎曼叶状结构？
• RQ3 恰当等距作用的轨道空间的等距群是否必为李群？
• RQ4 商空间 $M/\mathcal{F}$ 的等距变换是否保持叶空间中法空间的纤维结构？
• RQ5 能否从商空间上流的光滑性推导出轨道空间上等距作用的光滑性？

主要发现

• 所有恰当等距作用的轨道空间 $M/K$ 上的连续等距流均为光滑流，且可提升为 $M$ 上的 $K$-等变光滑流。
• 奇异黎曼叶状结构中叶的闭包构成另一个奇异黎曼叶状结构，从而证实了Molino猜想在轨道型叶状结构中的成立。
• 轨道空间的等距群为李群，扩展了关于极限空间与亚历山大罗夫空间等距群的结果。
• 商空间 $\textsf{N}/\mathcal{F}_{\textsf{N}}^0$ 的等距变换保持度量投影 $\mathsf{p}_{Y^*}$ 的纤维结构，并在度量 $\mathrm{g}_{\textsf{N}}$ 下诱导等距变换。
• 度量 $\mathrm{g}_{\textsf{N}}$ 的构造方式可保持横截几何，并允许缩放度量 $\tilde{g}_\lambda$ 的光滑收敛。
• 奇异Holonomy伪群在 $\textsf{N}/\mathcal{F}_{\textsf{N}}^0$ 上作用为等距，且其作用保持 $\mathsf{p}_{Y^*}$ 的纤维结构。