[论文解读] SO(9) characterisation of the Standard Model gauge group

Kirill Krasnov|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2019

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文将标准模型规范群 $G_{\rm SM}$ 直接且显式地表征为 $\mathrm{Spin}(9)$ 的子群，该子群与 $\mathbb{O}^2$ 自旋空间上由特定单位虚八元数诱导的复结构 $J_R$ 交换。关键结果是，$G_{\rm SM}$ 自然地源于八元数的非结合性，从而为从实正交群中涌现标准模型规范群提供了几何与代数解释。

ABSTRACT

A recent series of works by M. Dubois-Violette, I. Todorov and S. Drenska characterised the SM gauge group GSM as the subgroup of SO(9) that, in the octonionic model of the later, preserves the split O=C+C3 of the space of octonions into a copy of the complex plane plus the rest. This description, however, proceeded via the exceptional Jordan algebras J3(O), J2(O) and and this sense remained indirect. One of the goals of this paper is to provide as explicit description as possible and also clarify the underlying geometry. The other goal is to emphasise the role played by different complex structures in the spaces O and O2. We provide a new characterisation of GSM: The group GSM is the subgroup of Spin(9) that commutes with of a certain complex structure J in the space O2 of Spin(9) spinors. The complex structure J is parametrised by a choice of a unit imaginary octonion. This characterisation of GSM is essentially octonionic in the sense that J is restrictive because octonions are non-associative. The quaternionic analog of J is the complex structure in the space H2 of Spin(5) spinors that commutes with all Spin(5) transformations.

研究动机与目标

• 在 $\mathrm{SO}(9)$ 中直接且显式地描述标准模型规范群 $G_{\rm SM}$，摆脱以往通过例外约当代数的间接表征方式。
• 阐明 $\mathbb{O}$ 与 $\mathbb{O}^2$ 中复结构的几何作用，特别是区分虚八元数的左乘与右乘。
• 表明 $G_{\rm SM}$ 作为 $\mathrm{Spin}(9)$ 自旋空间 $\mathbb{O}^2$ 上特定复结构 $J_R$ 的中心化子而自然出现，从而解释其如何从 $\mathrm{SO}(9)$ 中涌现。
• 强调八元数非结合性在限制可能的复结构并唯一选择 $G_{\rm SM}$ 中的作用。
• 与四元数情形下的 $\mathrm{Spin}(5)$ 进行类比，其中类似的复结构与所有 $\mathrm{Spin}(5)$ 变换交换，凸显该构造在概念上的简洁性。

提出的方法

• 本文通过作用在 $\mathbb{O} \oplus \mathbb{O}$ 上的 Clifford 代数生成元，将 $\mathrm{Spin}(9)$ 构造为 $\mathrm{SO}(9)$ 的子群，使用 $\mathbf{x} \in \mathbb{O}$ 的左乘算子 $L_{\mathbf{x}}$。
• 通过单位虚八元数的右乘定义 $\mathrm{Spin}(9)$ 自旋空间 $\mathbb{O}^2$ 上的复结构 $J_R$，由于其非结合性，该结构限制了允许的对称性。
• 计算 $J_R$ 在 $\mathrm{Spin}(9)$ 中的中心化子，证明其精确等于 $G_{\rm SM}$，即标准模型规范群。
• 将该构造与四元数类比：在 $\mathrm{Spin}(5)$ 中，$\mathbb{H}^2$ 上类似复结构的中心化子为 $\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)/\mathbb{Z}_2$，与 $G_{\rm SM}$ 同构。
• 利用 $\mathrm{SO}(8)$ 的三重自同构将八元数结构与 $\mathrm{Spin}(9)$ 表示联系起来，建立八元数与自旋几何之间的联系。
• 证明分解 $\mathbb{O} = \mathbb{C} \oplus \mathbb{C}^3$ 等价于选择一个单位虚八元数，该选择诱导出复结构 $J_R$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖例外约当代数的前提下，将标准模型规范群 $G_{\rm SM}$ 显式表征为 $\mathrm{SO}(9)$ 的子群？
• RQ2 单位虚八元数在定义 $\mathrm{Spin}(9)$ 自旋空间 $\mathbb{O}^2$ 上复结构时的几何作用是什么？
• RQ3 为何 $\mathbb{O}^2$ 上特定复结构 $J_R$ 的中心化子恰好为 $G_{\rm SM}$？八元数的非结合性如何强制实现这一选择？
• RQ4 该构造的四元数类比是什么？它如何强化八元数结果的简洁性与自然性？
• RQ5 通过复结构选择实现规范群涌现的机制能否推广至其他 GUT 群，如 $\mathrm{SO}(10)$？

主要发现

• 标准模型规范群 $G_{\rm SM}$ 被识别为 $\mathrm{Spin}(9)$ 的子群，该子群与 $\mathbb{O}^2$ 上由单位虚八元数右乘诱导的复结构 $J_R$ 交换。
• 该复结构 $J_R$ 因八元数的非结合性而不满足结合律，从而将对称群严格限制为 $G_{\rm SM}$，为标准模型规范群提供了几何起源。
• 该构造是直接且显式的，绕过了以往研究中依赖例外约当代数的间接路径，提供了清晰的代数-几何解释。
• 四元数类比表明，在 $\mathrm{Spin}(5)$ 中，$\mathbb{H}^2$ 上类似复结构的中心化子为 $\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)/\mathbb{Z}_2$，验证了该机制的一致性。
• 证明分解 $\mathbb{O} = \mathbb{C} \oplus \mathbb{C}^3$ 等价于选择一个单位虚八元数，该选择诱导出复结构 $J_R$，从而唯一选定 $G_{\rm SM}$。
• 本文确立了 $G_{\rm SM}$ 并非通过 Higgs 机制或额外场从 $\mathrm{SO}(9)$ 中涌现，而是纯粹通过自旋空间上复结构的选择而自然出现，凸显其深层几何根源。