[论文解读] SO(n,n+1)-surface group representations and their Higgs bundles

B. Collier|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用 5

一句话总结

该论文利用Higgs丛技巧，参数化了亏格 g ≥ 2 的曲面群的 SO(n,n+1)-特征簇的新连通分支。它表明，对于每个 d ∈ (0, n(2g−2)]，存在一个光滑的、非Hitchin的连通分支，微分同胚于一个黎曼曲面对称积上的向量丛与偶数次全纯微分形式空间的乘积。这些分支仅包含非紧致、正Anosov表示，且论文识别出 2^{2g+1}−1 个此类分支，将Hitchin的参数化方法扩展至最大情形之外。

ABSTRACT

We study the character variety of representations of the fundamental group of a closed surface of genus $g\geq2$ into the Lie group SO(n,n+1) using Higgs bundles. For each integer $0

研究动机与目标

• 将Hitchin对Hitchin分支的参数化方法扩展至SO(n,n+1)-特征簇的非最大、非Hitchin连通分支。
• 识别并描述SO(n,n+1)-特征簇中未被 π₁(SO₀(n,n+1)) = ℤ₂×ℤ₂ 的拓扑不变量所区分的新连通分支。
• 利用Higgs丛和黎曼曲面的对称积，刻画这些分支的拓扑与几何结构。
• 利用Guichard-Wienhard关于正性的最新结果，证明这些分支中的表示为正Anosov表示。
• 证明这些分支不能形变收缩至紧致Zariski闭包，且在拓扑上与Hitchin分支不同。

提出的方法

• 利用Higgs丛理论，通过黎曼曲面X的对称积上的全纯微分形式与向量丛，参数化SO(n,n+1)-特征簇的连通分支。
• 对每个 d ∈ (0, n(2g−2)] 构造一族光滑连通分支 X_d(SO(n,n+1))，每个分支微分同胚于 F_d × ∏_{j=1}^{n−1} H⁰(K^{2j})，其中 F_d 是 Sym^{n(2g−2)−d}(X) 上的向量丛。
• 通过广义旗簇 SO(n,n+1)/P_Θ 应用正Anosov表示理论，聚焦于类型 C_n 根系定义的 Θ-正结构。
• 利用嵌入 SO(n,n−1) × SO(2) ↪ SO(n,n+1)，并利用SO(n,n−1)或SO(n,n)中的Hitchin表示可上拉至SO(n,n+1)中的正Anosov表示的事实。
• 分析 d=0 和 d=sw2/sw1 分支中的可约表示，通过等变边界曲线与群作用证明其为正Anosov表示。
• 应用Guichard-Wienhard关于正性的结果，证明正Anosov表示的集合在不可约部分中是闭的，从而实现对分支的全局分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在SO(n,n+1)-特征簇的连通分支，其未被 π₁(SO₀(n,n+1)) = ℤ₂×ℤ₂ 的拓扑不变量所区分？若存在，其拓扑结构如何？
• RQ2 Higgs丛技巧能否参数化 g ≥ 2 时SO(n,n+1)-特征簇的非Hitchin分支？
• RQ3 新分支是否仅包含非紧致Zariski闭包的表示？能否连续形变为此类表示？
• RQ4 这些新分支中的表示是否在Guichard-Wienhard意义下为正Anosov表示？
• RQ5 对于 0 < d < n(2g−2)，连通分支 X_d(SO(n,n+1)) 的精确微分同胚类型为何？
• RQ6 分支 X₀(SO(n,n+1)) 和 X^{sw2}_{sw1}(SO(n,n+1)) 如何与对称积和全纯微分形式的几何相关联？

主要发现

• 对每个 d ∈ (0, n(2g−2)]，存在SO(n,n+1)-特征簇的一个光滑连通分支 X_d(SO(n,n+1))，微分同胚于 F_d × ∏_{j=1}^{n−1} H⁰(K^{2j})，其中 F_d 是 Sym^{n(2g−2)−d}(X) 上的向量丛。
• 当 d = n(2g−2) 时，分支 X_d(SO(n,n+1)) 即为Hitchin分支，通过度数为 2n 的全纯微分形式恢复了Hitchin原始的参数化。
• 在Hitchin分支和 X_d 分支之外，SO(n,n+1)-特征簇还存在 2^{2g+1}−1 个额外的连通分支。
• 所有 X_d(SO(n,n+1)) 分支中 d > 0 的表示均具有非紧致Zariski闭包，且无法连续形变为具有紧致Zariski闭包的表示。
• 分支 X₀(SO(n,n+1)) 和 X^{sw2}_{sw1}(SO(n,n+1)) 包含可约表示，且为正 P_Θ Anosov 表示，此结论通过等变边界曲线与群嵌入得以证明。
• 正Anosov表示的集合在不可约部分中是闭的，意味着 X₀(SO(n,n+1)) 和 X^{sw2}_{sw1}(SO(n,n+1)) 中的所有表示（即使可约）均为正 P_Θ Anosov 表示。