[论文解读] Socially stable matchings in the Hospitals / Residents problem

Georgios Askalidis, Nicole Immorlica+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2013

Game Theory and Voting Systems参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文提出了社会稳定性下的医院-住院医师问题（HRSS），其中阻断对受到社交网络关系的限制——只有已存在社交联系的配对才能构成阻断对。研究证明，寻找最大社会稳定性匹配是NP难的，但可实现3/2的近似比，并为相识对数量较少的实例提供了固定参数可满足的算法。

ABSTRACT

In the Hospitals/Residents (HR) problem, agents are partitioned into hospitals and residents. Each agent wishes to be matched to an agent in the other set and has a strict preference over these potential matches. A matching is stable if there are no blocking pairs, i.e., no pair of agents that prefer each other to their assigned matches. Such a situation is undesirable as it could lead to a deviation in which the blocking pair form a private arrangement outside the matching. This however assumes that the blocking pair have social ties or communication channels to facilitate the deviation. Relaxing the stability definition to take account of the potential lack of social ties between agents can yield larger stable matchings. In this paper, we define the Hospitals/Residents problem under Social Stability (HRSS) which takes into account social ties between agents by introducing a social network graph to the HR problem. Edges in the social network graph correspond to resident-hospital pairs in the HR instance that know one another. Pairs that do not have corresponding edges in the social network graph can belong to a matching M but they can never block M. Relative to a relaxed stability definition for HRSS, called social stability, we show that socially stable matchings can have different sizes and the problem of finding a maximum socially stable matching is NP-hard, though approximable within 3/2. Furthermore we give polynomial time algorithms for three special cases of the problem.

研究动机与目标

• 为解决传统稳定匹配在现实场景中因阻断对需依赖社交关系才能形成而存在的局限性。
• 形式化一种新的稳定性概念——社会稳定性，将社交网络结构整合进医院-住院医师问题。
• 研究在该新模型下寻找最大社会稳定性匹配的计算复杂性。
• 为特殊情况开发高效算法，特别是当相识的住院医师-医院配对数量较少时。
• 探索社会稳定性匹配的结构与算法特性，包括可近似性与固定参数可满足性。

提出的方法

• 通过在标准HR实例中增加一个社交网络图来建模HRSS问题，图中的边表示住院医师与医院之间已存在的社交联系。
• 将社会阻断对定义为：一对住院医师与医院彼此更偏好对方而非当前匹配，且在社交网络图中相连。
• 引入社会稳定性的概念：若不存在此类社会阻断对，则匹配为社会稳定。
• 通过从已知NP难问题归约，证明寻找最大社会稳定性匹配问题是NP难的。
• 提出一种基于最大权匹配与变换图中基数增广的3/2近似算法。
• 设计一种固定参数可满足（FPT）算法，适用于相识对数量被常数k限制的实例，通过在具有O(2^k)个叶节点的决策树上进行基于路径的搜索。

实验结果

研究问题

• RQ1 一种考虑代理人之间社交关系的松弛稳定性概念，是否能产生比传统稳定性更大的匹配？
• RQ2 在HRSS模型中，寻找最大社会稳定性匹配的计算复杂性如何？
• RQ3 寻找最大社会稳定性匹配的问题是否可实现常数因子近似？
• RQ4 当相识对数量较少时，能否为HRSS设计固定参数可满足算法？
• RQ5 社会稳定性匹配的结构与经典HR中的标准稳定匹配结构相比有何异同？

主要发现

• 在HRSS中寻找最大社会稳定性匹配问题是NP难的，即使社交网络稀疏亦然。
• 存在一个3/2近似算法用于最大社会稳定性匹配问题，提供常数因子保证。
• 当相识对数量被常数k限制时，固定参数可满足算法可在O(c_max * m * sqrt(n_1 + C))时间内计算出最大社会稳定性匹配。
• 对于相识对数量为常数的实例，该算法运行时间多项式，因此在小规模或结构化HRSS实例中效率较高。
• 即使仅限制未相识对的数量，问题仍为NP难，表明其在一般情况下的固有复杂性。
• 社会稳定性匹配的集合大小可能不同，且尚无类似经典HR中稳定匹配格点结构的已知结构性刻画。