[论文解读] Soft \beta-Open Sets And Their Applications

Yunus Yumak, Aynur Keskin Kaymakçı|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2013

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文在软拓扑空间中引入了软 β-开集与软 β-闭集，定义了软 β-连续性、软 β-无扰映射及软 β-同胚，并证明了所有从软拓扑空间到其自身的软 β-无扰双射构成的集合 $ S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ 在复合运算下形成一个群，从而扩展了软同胚理论，并为软拓扑带来了新的结构性洞见。

ABSTRACT

First of all, we focused soft {\\beta}-open sets and soft {\\beta}-closed sets over the soft topological space and investigated some properties of them. Secondly, we defined the concepts soft {\\beta}-continuity, soft {\\beta}-irresolute and soft {\\beta}-homeomorphism on soft topological spaces. We also obtained some characterizations of these mappings. Finally, we observed that the collection S{\\beta}r-h(X,{\ au},E) was a soft group.

研究动机与目标

• 定义并研究软拓扑空间中的软 β-开集与软 β-闭集。
• 引入并刻画软 β-连续性、软 β-无扰映射及软 β-同胚。
• 建立所有软 β-无扰双射在软拓扑空间上构成的集合在复合运算下形成一个群。
• 利用 β-结构推广软同胚群的概念。

提出的方法

• 将软 β-开集定义为包含于其软内部的软闭包中的软集。
• 通过软 β-开集的原像仍为软 β-开集来引入软 β-连续性。
• 将软 β-无扰映射定义为满足其软 β-开集原像仍为软 β-开集的映射。
• 将软 β-同胚定义为具有软 β-无扰逆的双射软 β-无扰映射。
• 构造集合 $ S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $，即所有从 $ (X,\tau,E) $ 到其自身的软 β-无扰双射且其逆也软 β-无扰的集合。
• 证明 $ S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ 在复合运算下封闭，包含单位元，且对逆运算封闭，因此构成一个群。

实验结果

研究问题

• RQ1 软拓扑空间中软 β-开集与软 β-闭集具有哪些性质？
• RQ2 软 β-连续性与软 β-无扰映射在软拓扑空间中如何定义与刻画？
• RQ3 软拓扑空间上所有软 β-无扰双射的集合在复合与逆运算下是否封闭，从而构成一个群？
• RQ4 群 $ S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ 与软同胚群 $ S\text{-}h(X,\tau,E) $ 之间有何关系？
• RQ5 能否通过空间之间的软 β-无扰同胚诱导出此类群之间的同构？

主要发现

• 所有软 β-无扰双射在软拓扑空间 $ (X,\tau,E) $ 上构成的集合 $ S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ 在函数复合运算下形成一个群。
• 每个软同胚也是软 β-无扰映射，因此 $ S\text{-}h(X,\tau,E) \subseteq S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $。
• 群 $ S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ 在复合与逆运算下封闭，满足所有群公理。
• 软同胚群 $ S\text{-}h(X,\tau,E) $ 是 $ S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ 的子群。
• 对于任意软 β-无扰同胚 $ f: (X,\tau,E) \to (Y,\tau',E) $，存在一个群同构 $ f_*: S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) \to S\beta r\text{-}h(Y,\tau',E) $，由共轭定义。
• 映射 $ f \mapsto f_* $ 是函子性的：$ (g \circ f)_* = g_* \circ f_* $，且 $ (1_X)_* = 1 $，即恒等同构。