[论文解读] Solutions for a nonlocal elliptic equation involving critical growth and Hardy potential

Chunhua Wang, Jing Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 31被引用 3

一句话总结

本文在包含原点的有界区域中，建立了涉及临界Sobolev增长和Hardy位势的非局部椭圆方程存在无穷多组解。通过在分数阶Sobolev空间 $ H^s_0(Ω) $ 中使用逼近方法和变分法，作者证明了当 $ N > 6s $ 时，若Hardy系数 $ \mu $ 满足特定谱阈值条件且 $ a > 0 $，则该问题存在无穷多组解。

ABSTRACT

In this paper, by an approximating argument, we obtain infinitely many solutions for the following Hardy-Sobolev fractional equation with critical growth \begin{equation*}\label{0.1} \left\{% \begin{array}{ll} (-Δ)^{s} u-\ds\frac{μu}{|x|^{2s}}=|u|^{2^*_s-2}u+au, & \hbox{$ ext{in}~ Ω$},\vspace{0.1cm} u=0,\,\, &\hbox{$ ext{on}~\partial Ω$}, \\ \end{array}% ight. \end{equation*} provided $N>6s$, $μ\geq0$, $0< s<1$, $2^*_s=\frac{2N}{N-2s}$, $a>0$ is a constant and $Ω$ is an open bounded domain in $\R^N$ which contains the origin.

研究动机与目标

• 在包含原点的有界区域中，建立具有临界Sobolev增长和Hardy位势的非局部椭圆方程存在无穷多组解的问题。
• 分析分数阶Laplacian、Hardy位势 $ \mu |x|^{-2s} $ 和临界非线性项 $ |u|^{2^*_s - 2}u $ 在变分法框架下的相互作用。
• 通过引入临界增长并证明解的多重性，拓展先前关于带Hardy位势的分数阶Laplacian的研究结果。
• 研究逼近解在 $ H^s_0(\Omega) $ 中的渐近行为，特别是其分解为局域化特征的结构。
• 验证 $ \mu $ 的谱阈值条件可确保相关Hardy不等式的有效性以及能量泛函的强制性。

提出的方法

• 在 $ H^s_0(\Omega) $ 上将问题形式化为变分框架，使用能量泛函 $ I(u) = \frac{1}{2}\int_\Omega \left( |(-\Delta)^{s/2}u|^2 - \mu \frac{u^2}{|x|^{2s}} - a u^2 \right) dx - \frac{1}{2^*_s}\int_\Omega |u|^{2^*_s} dx $。
• 通过引入趋于零的消失参数 $ \epsilon_n \to 0 $，采用逼近论证方法，求解方程的正则化版本并分析其极限行为。
• 应用集中紧性原理和特征分解方法，分析 $ H^s_0(\Omega) $ 中有界序列的渐近结构，将解分解为极限特征和局域化泡状结构。
• 利用Laplacian在 $ \Omega $ 上的特征函数展开，通过谱定义方法确保分数阶Laplacian $ (-\Delta)^s $ 在 $ H^s_0(\Omega) $ 中的良定义性。
• 依赖于包含最优常数 $ \bar{\mu} = 2^{2s} \Gamma^2(\frac{N+2s}{4}) / \Gamma^2(\frac{N-2s}{4}) $ 的精确Hardy不等式，以控制原点处的奇异性。
• 在扩展问题中应用平移平面法和Pohozaev型恒等式，推导能量恒等式，并在爆破分析中控制边界项。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $ \mu $、$ s $ 和 $ N $ 条件下，带Hardy位势和临界非线性的分数阶椭圆方程存在无穷多组解？
• RQ2 Hardy位势 $ \mu |x|^{-2s} $ 如何影响变分结构以及Palais-Smale序列的紧致性？
• RQ3 当正则化参数 $ \epsilon_n \to 0 $ 时，逼近解的渐近特征为何？其如何分解为局域化泡状结构？
• RQ4 当 $ N > 6s $ 时，即使存在非平凡的Hardy位势，该方程对应的能量泛函是否仍能支持无穷多组临界点？
• RQ5 谱阈值条件 $ \frac{2^*_s \sqrt{\bar{\mu}}}{\sqrt{\bar{\mu}} - \sqrt{\bar{\mu} - \mu}} > \frac{2N}{N - 6s} $ 在确保多重解存在性方面起到何种作用？

主要发现

• 当 $ N > 6s $、$ \mu \geq 0 $、$ a > 0 $ 且 $ \mu $ 满足谱阈值条件时，方程在 $ H^s_0(\Omega) $ 中存在无穷多组弱解。
• 逼近解 $ u_n $ 可分解为 $ u_n = u_0 + \sum_{j=1}^m \rho_{0,\Lambda_{n,j}}(U_j) + \sum_{j=m+1}^h \rho_{x_{n,j},\Lambda_{n,j}}(U_j) + \omega_n $，其中 $ \omega_n \to 0 $ 在 $ H^s(\Omega) $ 中，且 $ u_0 $ 是原问题的解。
• 局域化特征 $ U_j $ 是极限方程的解：对 $ j=1,\dots,m $，有 $ (-\Delta)^s U_j - \mu \frac{U_j}{|x|^{2s}} = b_j |U_j|^{2^*_s - 2} U_j $ 在 $ D^s(\mathbb{R}^N) $ 中成立；对 $ j=m+1,\dots,h $，有 $ (-\Delta)^s U_j = b_j |U_j|^{2^*_s - 2} U_j $，其中 $ b_j \in (0,1] $。
• 对 $ j > m $ 的集中点 $ x_{n,j} $，满足 $ \Lambda_{n,j} d(x_{n,j}, \partial\Omega) \to \infty $ 且 $ \Lambda_{n,j} |x_{n,j}| \to \infty $，表明其逃逸至边界或无穷远。
• 对 $ i \neq j $，有相互分离条件 $ \frac{\Lambda_{n,j}}{\Lambda_{n,i}} + \frac{\Lambda_{n,i}}{\Lambda_{n,j}} + \Lambda_{n,j} \Lambda_{n,i} |x_{n,i} - x_{n,j}|^2 \to \infty $，确保极限下泡状结构的正交性。
• 能量泛函有下界，并在逼近序列上满足Palais-Smale条件，这对无穷多组解的存在性至关重要。