[论文解读] Solutions of Higher Order Homogeneous Linear Matrix Differential Equations: Singular Case

Grigoris I. Kalogeropoulos, Charalambos P. Kontzalis|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文提出一种矩阵束方法，用于求解奇异情形下的高阶齐次线性矩阵微分方程，其中首项系数矩阵奇异或矩阵束非方阵。该文给出了解存在与唯一的充要条件，通过最小指标识别解空间，并通过数值例子说明：当初始条件位于基本解矩阵的列张成空间之外时，解可能不唯一，且给出了显式解形式。

ABSTRACT

The main objective of this talk is to develop a matrix pencil approach for the study of an initial value problem of a class of singular linear matrix differential equations whose coefficients are constant matrices. By using matrix pencil theory we study the cases of non square matrices and of square matrices with an identically zero matrix pencil. Furthermore we will give necessary and sufficient conditions for existence and uniqueness of solutions and we will see when the uniqueness of solutions is not valid. Moreover we provide a numerical example.

研究动机与目标

• 解决高阶齐次线性矩阵微分方程在奇异矩阵束情形下的初值问题。
• 分析由于系数矩阵非方阵或行列式恒为零而导致矩阵束奇异的情况。
• 在奇异情形下，建立解存在与唯一的必要且充分条件。
• 当解不唯一时，利用最小指标（左最小指标与右最小指标）刻画解空间的维数。
• 提供一种算法框架，用于计算解并检验初始条件的一致性。

提出的方法

• 通过引入状态变量，将n阶矩阵微分方程转化为一阶系统形式 $ FY'(t) = GY(t) $。
• 应用矩阵束理论分析矩阵束 $ sF - G $，特别关注 $ \det(sF - G) \equiv 0 $ 或 $ F $ 非方阵的奇异情形。
• 基于结构不变量（有限与无限初等因子，以及最小指标）将系统分解为五个子系统。
• 通过非异矩阵 $ P $ 和 $ Q $ 的严格等价变换，将 $ F $ 和 $ G $ 化为 Kronecker标准形 $ F_K $ 和 $ G_K $。
• 构造解为 $ Y(t) = Q_p e^{J_p(t-t_0)} Z_p(t_0) $，其中 $ Q_p $ 张成解空间，$ Z_p(t_0) $ 由一致的初始条件确定。
• 通过检验 $ Y(t_0) \in \text{colspan}(Q_p) $ 验证解的存在性；当该条件不成立时，解不唯一。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有奇异矩阵束的高阶齐次线性矩阵微分方程存在解？
• RQ2 在何种情况下解唯一？在奇异情形下，解空间的维数由什么决定？
• RQ3 有限与无限初等因子，以及最小指标，如何影响解的结构？
• RQ4 列最小指标与行最小指标在刻画解空间中起什么作用？
• RQ5 如何算法性地判断给定的一组初始条件是否与系统一致？

主要发现

• 当且仅当初始条件向量 $ Y(t_0) $ 属于与有限初等因子相关的基本矩阵 $ Q_p $ 的列空间时，解存在。
• 当 $ Y(t_0) \notin \text{colspan}(Q_p) $ 时，系统有无穷多解，解空间维数等于自由参数的个数，例如在例2中为2。
• 解唯一当且仅当初始条件与基本解矩阵 $ Q_p $ 一致，而 $ Q_p $ 由有限初等因子和最小指标决定。
• 在例1中，矩阵束具有有限初等因子 $ s-2 $、$ s-1 $，以及最小指标 $ \epsilon_1 = 0 $、$ \epsilon_2 = 2 $，导致无穷多解。
• 在例2中，$ F $ 与 $ G $ 为非方阵，系统有无穷多解，解空间维数为2，由常数 $ c_1 $、$ c_2 $ 参数化。
• 解形式 $ Y(t) = Q_p e^{J_p(t-t_0)} Z_p(t_0) $ 仅在 $ Y(t_0) \in \text{colspan}(Q_p) $ 时有效；否则解不唯一，表示为 $ Y(t) = Q_p e^{J_p t} C $，其中 $ C $ 为任意常数向量。