[论文解读] Solutions to the Reifenberg Plateau problem with cohomological spanning conditions

Jenny Harrison, Harrison Pugh|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文在 ℝⁿ 中任意维数与余维数的曲面上，针对 Hölder 连续密度，通过上同调跨度条件，建立了极小化子的存在性与正则性。通过推广 Reifenberg 的 Plateau 问题，引入 Čech 上同调并提出新的上同调引理与切片不等式，证明了极小化子是可求长的，且在边界外具有 Hölder 连续可微结构，其 Hausdorff 测度有限，并具有正的下密度界。

ABSTRACT

We prove existence and regularity of minimizers for Hölder densities over general surfaces of arbitrary dimension and codimension in \(\R^n \), satisfying a cohomological boundary condition, providing a natural dual to Reifenberg's Plateau problem. We generalize and extend methods of Reifenberg, Besicovitch, and Adams, in particular we generalize a particular type of minimizing sequence used by Reifenberg (whose limits have nice properties, including lower bounds on lower density and finite Hausdorff measure,) prove such minimizing sequences exist, and develop cohomological spanning conditions. Our cohomology lemmas are dual versions of the homology lemmas in the celebrated appendix by Adams found in Reifenberg's 1960 paper.

研究动机与目标

• 通过使用上同调跨度条件而非同调，将 Reifenberg 的 Plateau 问题推广至任意维数与余维数。
• 解决同调基跨度条件在多连通边界（特别是余维数 >1 时）的失效问题。
• 推广 Reifenberg 的极小化序列，并证明其存在性，同时满足下密度界与有限测度界。
• 为变分问题发展 Adams 同调引理的上同调类比。
• 在 Hölder 密度假设下，通过渐近单调性与 Preiss 的可求长性定理，建立极小化子的正则性。

提出的方法

• 通过 ℝ-模系数的 Čech 上同调引入上同调跨度条件，定义不允许某些上循环在曲面上延拓的曲面。
• 建立一个新的精确切片不等式，作为 Eilenberg 不等式的上同调变体，以控制投影下的测度。
• 应用渐近单调性结果（引理 5.1.5），通过 Preiss 定理推导出极小化子的可求长性。
• 使用具有 Hölder 连续密度的 Vitali 型覆盖论证，比较局部测度与能量，确保极小性。
• 改编 Reifenberg 的正则序列技术，并将其现代化以适用于上同调设定与 Hölder 密度。
• 通过证明集合关于边界为 (M,ω,δ)-极小化，从而利用 Almgren 准则实现 Hölder 正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过上同调跨度条件而非同调，将 Reifenberg 的 Plateau 问题推广至任意维数与余维数？
• RQ2 Hölder 密度的极小化序列是否存在，且是否产生具有有限 Hausdorff 测度与正下密度的集合？
• RQ3 上同调条件能否确保极小化子是可求长的，并在边界外几乎处处具有切平面？
• RQ4 Reifenberg 1960 年论文中 Adams 同调引理是否存在上同调对偶？其如何支持存在性与正则性？
• RQ5 在 Hölder 密度假设下，能否将极小化子的正则性提升为局部 Hölder 连续可微结构？

主要发现

• 加权 Hausdorff 测度 ∫_X f d𝒮^m 在满足 coboundary 包含给定上同调类 L 的曲面 X 上的下确界可达，且严格为正。
• 每个极小化子 X₀ 在 A 外是 m-可求长的，且在 X₀ ∖ A 上几乎处处具有真切平面。
• 存在一开集 V，使得 𝒮^m((X₀ ∩ int(C)) ∖ (A ∪ V)) = 0，且 X₀ ∩ V 是 ℝⁿ 中具有指数 α 的局部 Hölder 连续可微子流形。
• 极小化子 X₀ 包含一极小曲面 X₀′，其 coboundary ⊃ L，且在类 𝒮(A,C,L,m) 中不包含任何真子集。
• 极小化子满足 (M,ω,δ)-极小性，其中 ω(r) = 4|f|_{C^{0,α}}r^α / a，从而可应用 Almgren 的正则性理论。
• 该结果意味着：具有指定非退化边界的紧致 m-维子流形，其 m-维 Hausdorff 测度存在正下界，且该下界依赖于边界的上同调结构。