[论文解读] Solvability of coupled FBSDEs with quadratic and superquadratic growth

Peng Luo, Ludovic Tangpi|arXiv (Cornell University)|May 5, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文建立了带控制变量二次和超二次增长的耦合前向-后向随机微分方程（FBSDEs）解的存在性与唯一性。它通过引入Malliavin可微性与可分性条件，在马尔可夫情形下放宽了终端条件有界性的限制，在非马尔可夫情形下降低了正则性假设要求，从而扩展了先前的结果。

ABSTRACT

We derive two existence and uniqueness results for multi-dimensional and coupled systems of forward-backward SDEs when the generator of the backward equation may have quadratic growth in the control variable and the parameters of the forward equation are Lipschitz continuous. In the Markovian setting, we show existence and uniqueness in the superquadratic case for unbounded terminal conditions. This result extends to the non-Markovian case under a boundedness condition on the Malliavin derivative of the terminal conditio n and the generator. Furthermore, this condition can be dropped if the generator can be separated into a quadratic and a subquadratic part, and the terminal condition bounded. In this case the solution exist s on a small time interval.

研究动机与目标

• 建立多维耦合FBSDEs在控制变量具有二次增长时解的存在性与唯一性。
• 在马尔可夫假设下，将现有结果扩展至终端条件无界时的超二次增长情形。
• 通过在非马尔可夫设定中引入终端条件与生成器的Malliavin导数有界性约束，放宽正则性条件。
• 证明当生成器可分解为二次与次二次部分且终端条件有界时，可去除Malliavin导数条件。
• 在一般非马尔可夫情形下，于可分性与有界性假设下，证明解在局部时间区间内存在。

提出的方法

• 利用非马尔可夫生成器的前向-后向SDE理论，并在二次与超二次增长条件下应用先验估计。
• 应用Malliavin微积分以控制终端条件与生成器的正则性，从而在更弱假设下获得存在性结果。
• 对终端条件与生成器的Malliavin导数施加有界性条件，以将存在性结果推广至非马尔可夫情形。
• 将生成器分解为二次与次二次部分，以在终端条件有界时降低对Malliavin导数的要求。
• 在适当的函数空间上采用不动点论证证明存在性与唯一性，尤其适用于一般情形下的局部时间区间。
• 依赖前向系数的Lipschitz连续性与后向分量的生长控制，以确保问题适定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，控制变量具有二次增长的耦合FBSDE存在唯一解？
• RQ2 在马尔可夫设定下，当终端条件无界时，能否为超二次增长生成器建立存在性与唯一性？
• RQ3 在非马尔可夫情形下，如何放宽或去除Malliavin导数条件？
• RQ4 在一般非马尔可夫框架下，生成器与终端条件的何种结构性假设可保证局部时间区间内解的存在性？
• RQ5 生成器分解为二次与次二次部分在多大程度上影响可解性条件？

主要发现

• 当前向系数为Lipschitz连续时，控制变量具有二次增长的耦合FBSDEs存在唯一解。
• 在马尔可夫情形下，存在唯一解的结果可扩展至终端条件无界时的超二次增长情形。
• 在非马尔可夫情形下，当终端条件与生成器的Malliavin导数有界时，解存在。
• 当生成器可分解为二次与次二次部分且终端条件有界时，可去除Malliavin导数条件。
• 在上述可分性与有界性假设下，一般非马尔可夫设定中解在小时间区间内唯一存在。
• 本结果推广了先前工作，允许在耦合FBSDEs中具有更一般的增长与终端条件结构。