[论文解读] Solvable fundamental groups of algebraic varieties and Kähler manifolds

Donu Arapura, Madhav V. Nori|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 7

一句话总结

本文证明，若一个正规复代数簇或紧致凯勒流形的泽里科集开子集的基本群是 ℚ 上矩阵群的可解群（或幂零群），则该群必为几乎幂零群。作者通过将此类群完备化为代数群，并利用伽罗瓦理论与同调方法证明其恒同连通分支为幂零群，从而排除了此类几何空间中一大类可解群作为基本群的可能性。

ABSTRACT

This is a long overdue write up of the following: If the fundamental group of a normal complex algebraic variety (respectively Zariski open subset of a compact Kähler manifold) is a solvable group of matrices over Q (respectively polycyclic group), then it is virtually nilpotent. This should be interpreted as saying that a large class of solvable groups will not occur as fundamental groups of such spaces. The essential strategy is to first "complete" these groups to algebraic groups (generalizing constructions of Malcev and Mostow), and then check that the identity component is unipotent. This is done by Galois theoretic methods in the algebraic case, and is reduced to homological properties of one dimensional characters in the analytic case.

研究动机与目标

• 确定哪些可解群可作为正规复代数簇或紧致凯勒流形的泽里科集开子集的基本群出现。
• 解决长期存在的问题：某些可解群——特别是可实现为 ℚ 上矩阵群或幂零群的群——是否可能作为此类几何对象的基本群。
• 确立此类可解群必为几乎幂零群，从而在该几何设定下严格限制了可能的基本群类别。
• 将马拉切夫与莫斯特的群完备化技术推广至代数与解析基本群的语境。
• 利用伽罗瓦理论与同调方法，证明完备化群中恒同连通分支的幂零性。

提出的方法

• 利用马拉切夫与莫斯特构造的推广，将给定的可解基本群完备化为代数群。
• 在代数情形下应用伽罗瓦理论技术，分析完备化群的结构。
• 在解析情形下，将问题约化为研究一维特征标的同调性质。
• 证明完备化群的恒同连通分支为幂零群，从而推出原群为几乎幂零群。
• 利用恒同连通分支的幂零性，推导出基本群为几乎幂零群。
• 利用幂零群为幂零群且其有限扩张仍为几乎幂零群的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 ℚ 上矩阵群的可解群是否可作为正规复代数簇的基本群出现？
• RQ2 幂零群是否可作为紧致凯勒流形的泽里科集开子集的基本群出现？
• RQ3 在代数簇与凯勒流形的语境下，何种条件下可解基本群会成为几乎幂零群？
• RQ4 如何将群完备化技术扩展至代数与解析基本群，以研究其幂零结构？
• RQ5 伽罗瓦理论与同调方法在证明完备化群中恒同连通分支的幂零性方面起何种作用？

主要发现

• 任何可嵌入为 ℚ 上矩阵群的正规复代数簇的可解基本群，必为几乎幂零群。
• 对于紧致凯勒流形的泽里科集开子集，若其基本群为幂零群，则必为几乎幂零群。
• 此类可解群完备化为代数群后，其恒同连通分支为幂零群。
• 完备化群中恒同连通分支的幂零性，意味着原群为几乎幂零群。
• 证明在代数情形依赖伽罗瓦理论方法，在解析情形依赖一维特征标的同调分析。
• 该结果在这些几何背景下对可能作为基本群的可解群类施加了强限制。