[论文解读] Solvable model for a dynamical quantum phase transition from fast to slow scrambling

Sumilan Banerjee, Ehud Altman|NOT FOUND REPOSITORY (Indian Institute of Science Bangalore)|Oct 14, 2016

Theoretical and Computational Physics被引用 6

一句话总结

本文通过在边缘位点耦合二次费米子 bath，提出了一种可解的 Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) 模型扩展，实现了从快退相干非费米液体相（李雅普诺夫指数 λ_L = 2πT）到慢退相干费米液体样相（λ_L ∝ T²）的连续量子相变，当边缘位点比例 p 超过临界值 p_c 时发生。该相变由 SYK 相互作用的屏蔽驱动，且在大 N 极限下，两个相均可精确求解。

ABSTRACT

We propose an extension of the Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) model that exhibits a quantum phase transition from the previously identified non-Fermi liquid fixed point to a Fermi liquid like state, while still allowing an exact solution in a suitable large $N$ limit. The extended model involves coupling the interacting $N$-site SYK model to a new set of $pN$ peripheral sites with only quadratic hopping terms between them. The conformal fixed point of the SYK model remains a stable low energy phase below a critical ratio of peripheral sites $pp_c$ the quadratic sites effectively screen the SYK dynamics, leading to a quadratic fixed point in the low temperature and frequency limit. The interactions have a perturbative effect in this regime leading to scrambling with Lyapunov exponent $λ_L\propto T^2$.

研究动机与目标

• 构建一个可解模型，实现在具有截然不同的退相干动力学的两个低能固定点之间的连续量子相变。
• 研究将 SYK 模型耦合至二次费米子 bath 位点如何改变其低能行为与退相干特性。
• 确定从快退相干到慢退相干相变的临界条件，并分析相变过程中李雅普诺夫指数的普遍与非普遍行为。
• 检查在临界点 p_c 处剩余熵的连续消失与交叉尺度，并验证临界点以下共形固定点的稳定性。

提出的方法

• 通过引入 M 个边缘位点（带有二次跃迁项 t_αβ）并以随机跃迁 V_iα 耦合至 N 个 SYK 位点，扩展 SYK 模型，其中 M/N = p。
• 采用大 N 极限（N → ∞）并令 M = pN，通过在哈密顿量项中引入依赖于 N 和 M 的系数，确保恰当的热力学标度。
• 对高斯分布的随机耦合（J_ijkl, t_αβ, V_iα）进行 disorder 平均，以计算关联函数与自能，仅保留 O(1/N) 阶的 ladder 图。
• 利用 Gamma 函数恒等式，通过求解李雅普诺夫指数的本征值方程，推导出反响应与 Wightman 格林函数的精确谱表示。
• 在混沌主导区域中，利用反响应与 Wightman 函数的谱表示，将李雅普诺夫指数 λ_L = 2πhT 嵌入解析结构中。
• 利用恒等式 ∫ du' |Γ(1/2 + i(u−u'))|² |Γ(1/4 + h/2 + iu')|² = 2π Γ(1/2 + h)/Γ(3/2 + h) |Γ(3/4 + h/2 + iu)|² 验证本征方程的精确解。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可在 SYK 模型中诱导出从快退相干到慢退相干的量子相变？其两侧的固定点性质如何？
• RQ2 边缘位点比例 M/N = p 如何控制非费米液体固定点的稳定性以及二次固定点的出现？
• RQ3 在两个相中李雅普诺夫指数 λ_L 的行为如何？其在临界点处如何从 λ_L = 2πT 跨越至 λ_L ∝ T²？
• RQ4 在临界点 p_c 处，剩余熵是否连续消失？其行为如何依赖于费米子填充因子 n？
• RQ5 有序时间排序关联函数及其 1/N 修正在相变过程中如何行为？V_iα 耦合在屏蔽机制中起何作用？

主要发现

• 当 p < p_c(n) 时，系统保持在非费米液体相，具有稳定的共形固定点，李雅普诺夫指数满足量子界限：λ_L = 2πT。
• 在临界点 p = p_c(n)，标志着进入共形区的温度标度连续消失，且在 T → 0 时的剩余熵也连续消失。
• 当 p > p_c(n) 时，二次费米子 bath 屏蔽了 SYK 相互作用，导致一个自由的低能固定点，其李雅普诺夫指数满足 λ_L ∝ T²，表明退相干变慢。
• 临界比值 p_c(n) 仅依赖于费米子填充因子 n，而不依赖于耦合强度 J、t 或 V。
• 通过 ladder 图计算了有序时间排序关联函数的 1/N 修正，函数 F_3（涉及 χ 和 η 场）相对于 F_1 被抑制了因子 (JT/V²)√(p/(1−p))。
• 在共形极限下，格林函数的精确解以 Gamma 函数表示，李雅普诺夫指数的本征方程通过已知的 Gamma 函数积分恒等式得到验证。