[论文解读] Solving bivariate systems: Efficient worst-case algorithm for computing Rational Univariate Representations and applications

Yacine Bouzidi, Sylvain Lazard+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2013

Coding theory and cryptography被引用 4

一句话总结

本文提出了一种高效算法，用于计算双变量多项式系统的有理一元表示（RUR），其最坏情况下的位复杂度为 $σ\text{O}(d^7 + d^6 \alpha)$，优于先前的方法。该方法实现了更紧致的系数位大小界，并可利用 RUR 快速计算所有实解处的多项式符号。

ABSTRACT

We address the problem of solving systems of two bivariate polynomials of total degree at most $d$ with integer coefficients of maximum bitsize $ au$. It is known that a linear separating form, that is a linear combination of the variables that takes different values at distinct solutions of the system, can be computed in $\sOB(d^{8}+d^7 au)$ bit operations (where $O_B$ refers to bit complexities and $\sO$ to complexities where polylogarithmic factors are omitted) and we focus here on the computation of a Rational Univariate Representation (RUR) given a linear separating form. We present an algorithm for computing a RUR with worst-case bit complexity in $\sOB(d^7+d^6 au)$ and bound the bitsize of its coefficients by $\sO(d^2+d au)$. We show in addition that isolating boxes of the solutions of the system can be computed from the RUR with $\sOB(d^{8}+d^7 au)$ bit operations. Finally, we show how a RUR can be used to evaluate the sign of a bivariate polynomial (of degree at most $d$ and bitsize at most $ au$) at one real solution of the system in $\sOB(d^{8}+d^7 au)$ bit operations and at all the $\Theta(d^2)$ {real} solutions in only $O(d)$ times that for one solution.

研究动机与目标

• 开发一种双变量多项式系统有理一元表示（RUR）的最坏情况高效算法。
• 与现有方法相比，降低 RUR 计算的位复杂度，特别是通过利用已知的线性分离形式。
• 将 RUR 成分的系数位大小控制在 $σ\text{O}(d^2 + d\alpha)$ 以内，以确保实际效率。
• 利用 RUR 快速计算所有实解的隔离框。
• 通过 RUR 支持高效计算双变量多项式在系统所有实解处的符号。

提出的方法

• 利用预先计算的线性分离形式，将问题简化为单变量根隔离与有理函数构造。
• 应用结式与有理插值技术，构造 RUR 成分并控制系数增长。
• 采用改进的 Berlekamp–Zassenhaus 因子分解策略，以维持位复杂度界限。
• 对 RUR 中的单变量多项式应用根隔离算法，以计算实解的隔离框。
• 利用 RUR 通过在单变量多项式的根处求值，计算给定多项式在单个及所有实解处的符号。
• 通过重用 RUR 结构优化符号计算，使计算时间仅为单次求值成本的 $O(d)$ 倍。

实验结果

研究问题

• RQ1 双变量系统 RUR 计算的位复杂度能否在保持系数大小控制的前提下，低于现有界限？
• RQ2 从 RUR 计算所有实解隔离框所需的最小位复杂度是多少？
• RQ3 如何高效地利用 RUR 计算双变量系统中所有实解处多项式的符号？
• RQ4 RUR 结构能否被利用，使所有实解处的符号计算仅需单个解求值成本的 $O(d)$ 倍？
• RQ5 双变量系统 RUR 系数的最紧致可能位大小界是什么？

主要发现

• RUR 的计算复杂度为 $σ\text{O}(d^7 + d^6 \alpha)$ 位操作，优于先前的 $σ\text{O}(d^8 + d^7 \alpha)$ 界限。
• RUR 的系数位大小被控制在 $σ\text{O}(d^2 + d\alpha)$ 以内，确保了紧凑的表示形式。
• 从 RUR 计算所有实解的隔离框的复杂度为 $σ\text{O}(d^8 + d^7 \alpha)$ 位操作。
• 在单个实解处计算双变量多项式符号的复杂度为 $σ\text{O}(d^8 + d^7 \alpha)$ 位操作。
• 在所有 $Θ(d^2)$ 个实解处计算同一多项式符号的复杂度，仅为单次求值成本的 $O(d)$ 倍。
• 该方法通过利用 RUR 结构与线性分离形式，同时实现了更优的复杂度与实际效率。