[论文解读] Solving Inequality-Constrained Binary Optimization Problems on Quantum Annealer

Kouki Yonaga, Masamichi J. Miyama+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2020

Optimization and Search Problems被引用 9

一句话总结

本文提出了一种新颖的混合量子-经典算法，利用交替方向乘子法（ADMM）在无需引入松弛变量的情况下，于量子退火器上求解不等式约束的二值优化问题，从而减少了量子比特开销。该方法在密集的二次背包问题上，相较于精确求解器，实现了更高的精度和更快的计算速度，特别是在使用 D-Wave 2000Q 的采样模式且 β=10.0 时表现更优。

ABSTRACT

We propose a new method for solving binary optimization problems under inequality constraints using a quantum annealer. To deal with inequality constraints, we often use slack variables, as in previous approaches. When we use slack variables, we usually conduct a binary expansion, which requires numerous physical qubits. Therefore, the problem of the current quantum annealer is limited to a small scale. In this study, we employ the alternating direction method of multipliers. This approach allows us to deal with various types using constraints in the current quantum annealer without slack variables. To test the performance of our algorithm, we use quadratic knapsack problems (QKPs). We compared the accuracy obtained by our method with a simulated annealer and the optimization and sampling mode of a D-Wave machine. As a result of our experiments, we found that the sampling mode shows the best accuracy. We also found that the computational time of our method is faster than that of the exact solver when we tackle various QKPs defined on dense graphs.

研究动机与目标

• 为解决当前量子退火器在处理不等式约束二值优化问题时的可扩展性限制。
• 消除对松弛变量及其高量子比特消耗的二值展开的需求，从而缓解 D-Wave 2000Q 上的问题规模限制。
• 开发一种混合量子-经典算法，充分利用 D-Wave 2000Q 的采样能力，同时保证解的可行性与精度。
• 在二次背包问题（QKPs）上验证该方法的有效性，并与精确求解器和模拟退火法进行性能比较。

提出的方法

• 该方法采用增广拉格朗日法，将不等式约束转化为不引入松弛变量的惩罚目标函数。
• 结合交替方向乘子法（ADMM），将问题分解为可通过量子退火和经典优化求解的子问题。
• ADMM 框架交替更新对偶变量，并在 D-Wave 2000Q 上使用优化模式或采样模式求解 QUBO 子问题。
• 算法在采样模式中引入惩罚参数 β，实验表明 β=10.0 时性能最优。
• 通过在逻辑问题结构上直接操作，避免了嵌入开销，减少了对高量子比特映射的依赖。
• 结合量子采样与经典后处理，实现解的去嵌入并提升收敛精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当前的量子退火器能否在不使用松弛变量及其高量子比特消耗的二值展开的情况下，求解不等式约束的二值优化问题？
• RQ2 所提出的基于 ADMM 的混合算法在密集二次背包问题上的性能，与精确求解器和模拟退火法相比如何？
• RQ3 在 D-Wave 采样模式中，惩罚参数 β 的哪个取值能使所提方法获得最高的解精度？
• RQ4 随着问题规模和耦合密度的增加，该方法的计算时间是否相比精确求解器具有有利的可扩展性？
• RQ5 该方法能否为传统松弛变量方法因量子比特限制而无法求解的大规模问题提供可行解？

主要发现

• 在所有测试配置中，D-Wave 2000Q 的采样模式配合 β=10.0 时获得了最高的解精度，优于优化模式和模拟退火法。
• 所提方法成功求解了因量子比特限制而传统松弛变量方法无法处理的大规模密集图二次背包问题。
• 对于高耦合密度问题（Δ=1.0），ADMM 方法在 N=64 时的计算时间快于精确的 Gurobi 优化器。
• ADMM 方法的总计算时间主要受采样和去嵌入开销主导，而量子退火时间（t_QA）在不同问题规模下几乎保持恒定。
• 当以 Gurobi 精确求解器为基准时，该方法在 N=128 变量的问题上仍能获得可行解，表明其具备良好的可扩展潜力。
• 该算法获得了平均误差 ε_ave > 0.0 的可行解，表明通过增加 ADMM 迭代次数或采样次数，仍有改进空间。