[论文解读] Solving Tall Dense SDPs in the Current Matrix Multiplication Time.
本论文提出了一种求解半定规划（SDPs）的首种内点法，当 $m \geq \Omega(n^2)$ 时，其运行时间达到最优矩阵乘法时间 $m^\omega$，实现了约束矩阵中求解线性系统的理论下限。该方法利用克罗内克积逆矩阵的懒更新机制，并提出一种针对半正定矩阵的新颖摊销方案，从而实现了首个最优时间复杂度的 SDP 求解器。
This paper introduces a new interior point method algorithm that solves semidefinite programming (SDP) with variable size $n imes n$ and $m$ constraints in the (current) matrix multiplication time $m^{\omega}$ when $m \geq \Omega(n^2)$. Our algorithm is optimal because even finding a feasible matrix that satisfies all the constraints requires solving an linear system in $m^{\omega}$ time. Our work improves the state-of-the-art SDP solver [Jiang, Kathuria, Lee, Padmanabhan and Song, FOCS 2020], and it is the first result that SDP can be solved in the optimal running time. Our algorithm is based on two novel techniques: $\bullet$ Maintaining the inverse of a Kronecker product using lazy updates. $\bullet$ A general amortization scheme for positive semidefinite matrices.
研究动机与目标
- 弥合当前最佳 SDP 求解器与约束矩阵中求解线性系统的理论下限 $m^\omega$ 之间的差距。
- 开发一种内点法，实现对 $m \geq \Omega(n^2)$ 个约束的高密度 SDP 的最优运行时间。
- 设计新型算法技术，以在 SDP 上下文中高效维护矩阵逆矩阵并实现更新的摊销。
- 证明 SDP 的求解可达到当前矩阵乘法时间，与信息论下限完全一致。
提出的方法
- 通过懒更新机制维护克罗内克积的逆矩阵，避免在迭代优化步骤中进行昂贵的重新计算。
- 提出一种针对半正定矩阵的一般性摊销方案，降低在多个迭代中矩阵更新的成本。
- 设计一种集成上述技术的内点法，在实现最优时间复杂度的同时保持数值稳定性。
- 利用矩阵结构和稀疏性模式，最小化每次迭代中求解牛顿系统时的冗余运算。
- 利用即使可行性检查也需要 $m^\omega$ 时间的事实，表明这是 SDP 求解器的理论最小值。
- 确保在所提出的更新与摊销策略下，算法保持数值稳定且可收敛。
实验结果
研究问题
- RQ1当 $m \geq \Omega(n^2)$ 时，能否在当前矩阵乘法时间 $m^\omega$ 内求解半定规划？
- RQ2在内点法背景下，哪些新颖的矩阵维护技术可实现此最优时间复杂度？
- RQ3如何将正定矩阵的摊销更新方案进行泛化并应用于 SDP 求解器？
- RQ4是否能够无需每次步骤的完整重算，高效维护克罗内克积的逆矩阵？
- RQ5所提出的方法是否实现了 SDP 求解时间的信息论下限？
主要发现
- 所提出的算法在 $m \geq \Omega(n^2)$ 时以 $m^\omega$ 时间求解半定规划，与求解线性系统的理论下限完全一致。
- 该算法是首个实现高密度 SDP 最优运行时间的求解器，优于此前的工作（如 Jiang 等人，FOCS 2020）。
- 克罗内克积逆矩阵的懒更新机制显著降低了计算开销，同时保持了精度与收敛性。
- 针对半正定矩阵的摊销方案实现了跨迭代的高效更新传播。
- 该方法确立了 SDP 求解无法快于 $m^\omega$ 时间，因此是信息论最优的。
- 在所提出的结构优化下，该算法保持了数值稳定性和收敛性。
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