[论文解读] Solving time-fractional differential equation via rational approximation

Ustim Khristenko, Barbara Wohlmuth|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2021

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 52被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种求解时间分数阶微分方程的新数值方法，通过使用自适应AAA算法逼近分数阶核的拉普拉斯谱，实现了一种有理逼近，从而将问题简化为模式数更少的常微分方程系统。该方法实现了$\frac{1}{h}\frac{1}{\mathrm{log}}\frac{1}{h}$的复杂度，并在求解线性和非线性Cahn-Hilliard问题时表现出最优的收敛速率和稳定性。

ABSTRACT

Fractional differential equations (FDEs) describe subdiffusion behavior of dynamical systems. Its non-local structure requires taking into account the whole evolution history during the time integration, which then possibly causes additional memory use to store the history, growing in time. An alternative to a quadrature for the history integral is to approximate the fractional kernel with the sum of exponentials, which is equivalent to considering the FDE solution as a sum of solutions to a system of ODEs. One possibility to construct this system is to approximate the Laplace spectrum of the fractional kernel with a rational function. In this paper, we use the adaptive Antoulas--Anderson (AAA) algorithm for the rational approximation of the kernel spectrum which yields only a small number of real valued poles. We propose a numerical scheme based on this idea and study its stability and convergence properties. In addition, we apply the algorithm to a time-fractional Cahn-Hilliard problem.

研究动机与目标

• 解决传统基于求积的方法在求解时间分数阶微分方程（FDEs）时计算成本高和内存需求大的问题。
• 通过使用拉普拉斯谱的自适应有理逼近，减少核压缩技术中所需的辅助模式数量。
• 基于有理逼近框架，开发稳定且高阶的时间积分格式（隐式欧拉和克兰克-尼科尔森格式的变体）。
• 在具有已知解的线性问题以及二维非线性时间分数阶Cahn-Hilliard问题上验证该方法。

提出的方法

• 使用自适应Antoulas–Anderson（AAA）算法进行分式核拉普拉斯变换的重心有理插值逼近。
• 所得的有理逼近产生具有实数非负极点和奇异项的指数和表示形式，从而可分解为少量常微分方程模式。
• 将FDE重新表述为$ m = \mathcal{O}(\log(1/h)) $个耦合常微分方程的系统，每个方程可并行求解。
• 提出一种基于指数积分器的稳定克兰克-尼科尔森型格式，以避免虚假振荡。
• 时间积分格式的推导不显式进行历史项的求积，其系数自然恢复分数阶亚当斯-穆尔顿权重。
• 空间离散化采用$ Q_1 $有限元方法，在$ 64 \times 64 $的网格上进行，该方法应用于具有$ \alpha \in \{0.1, 0.3, 0.5, 0.9\} $的非线性Cahn-Hilliard模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 AAA算法能否以比传统基于求积的核压缩方法更少的模式数，实现对分数阶核拉普拉斯谱的有理逼近？
• RQ2 由此产生的常微分方程系统是否能实现稳定且收敛的时间积分，并达到最优的收敛速率？
• RQ3 该方法在非线性时间分数阶PDE（如Cahn-Hilliard方程）上的精度和计算效率表现如何？
• RQ4 稳定化的克兰克-尼科尔森格式能否避免FDE中指数积分器常见的虚假振荡？
• RQ5 该方法在不同分数阶$ \alpha $和时间步长$ h $下的收敛行为如何？

主要发现

• 所提出的格式实现了$ \mathcal{O}(h \log h) $和$ \mathcal{O}(h^{1+\alpha}) $的收敛速率，与理论预期一致。
• 尽管$ m $随$ \mathcal{O}(\log(1/h)) $增长，但所需模式数$ m $显著少于许多现有核压缩方法。
• 稳定化的克兰克-尼科尔森格式成功避免了虚假振荡，确保了对刚性分数阶问题的鲁棒性。
• 对于时间分数阶Cahn-Hilliard问题，较小的$ \alpha $导致气泡初始聚集更快，随后动力学变慢，与物理预期一致。
• 收敛性研究证实，相对误差$ \mathcal{E}_r $在所有测试的$ \alpha $值下均满足理论界限，且误差率与预测阶数相符。