[论文解读] Solving Unbounded Quadratic BSDEs by a Domination Method

Khaled Bahlali|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新颖的控制方法，用于建立具有在 z 变量上呈现超线性增长的生成器的无界二次倒向随机微分方程（QBSDEs）解的存在性。通过用两个解有序的 BSDE 从上下两方面控制生成器，该方法即使在终端条件无界且增长函数 f 仅为局部可积时，也能保证存在最大解和最小解，从而扩展了以往要求 f 全局可积或终端数据有界的结论。

ABSTRACT

We introduce a domination argument which asserts that: if we can dominate theparameters of a quadratic backward stochastic differential equation (QBSDE) with continuousgenerator from above and from below by those of two BSDEs having ordered solutions, thenalso the original QBSDE admits at least one solution. This result is presented in a generalframework: we do not impose any integrability condition on none of the terminal data of thethree involved BSDEs, we do not require any constraint on the growth nor continuity of thetwo dominating generators. As a consequence, we establish the existence of a maximal anda minimal solution to BSDEs whose coefficient H is continuous and satisfies |H(t, y, z)| $\le$$α$ t + $β$ t |y| + $θ$ t |z| + f (|y|)|z| 2 , where $α$ t , $β$ t , $θ$ t are positive processes and the function f ispositive, continuous and increasing (or even only positive and locally bounded) on R. This isdone with unbounded terminal value. We cover the classical QBSDEs where the function f isconstant ([10], [12], [23], [25]) and when f (y) = y p ([21]) and also the cases where the generator has super linear growth such as y|z|, e |y| |z| p , e e |z| 2 , (k $\ge$ 0, 0 $\le$ p < 2) and so on. Incontrast to the works [10, 12, 21, 23, 25], we get the existence of a a maximal and a minimalsolution and we cover the BSDEs with at most linear growth (take f = 0). In particular,we cover and extend the results of [22] and [24]. Furthermore, we establish the existence anduniqueness of solutions to BSDEs driven by f (y)|z| 2 when f is merely locally integrable on R.

研究动机与目标

• 解决具有无界终端值且在 z 变量上具有超线性增长的二次 BSDE 的解的存在性问题。
• 放宽标准要求：即增长函数 f 必须全局可积的假设，允许 f 仅在 ℝ 上局部可积。
• 在一般条件下（包括无界终端数据，且对控制生成器无连续性或可积性约束）建立最大解和最小解的存在性。
• 通过涵盖 f(y) = y^p、e^{|y|^k} |z|^p 和 e^{e^{|y|}}|z|^2 等情形，扩展现有 QBSDE 结果，这些情形此前不在经典存在性理论的覆盖范围内。

提出的方法

• 提出一种控制论证：若 QBSDE 的生成器 H 被两个其他生成器从上方和下方控制，且对应的 BSDE 解有序，则原 QBSDE 至少存在一个解。
• 通过函数 u_f(x) = ∫₀ˣ exp(2∫₀ᶻ f(r)dr) dz 的变换消除生成器中的二次项，将问题转化为线性型 BSDE。
• 应用 Itô–Krylov 公式将原 QBSDE 转化为由变换后的终端变量驱动的等价 BSDE，利用 u_f 及其逆的正则性。
• 应用 Sobolev 和局部 L^1 正则性理论，确保变换后的过程定义良好，并满足所需的可积性和可测性条件。
• 在 f 仅为 ℝ 上局部可积的条件下，利用变换和控制框架，证明 BSDE 生成器为 f(|y|)|z|² 时解的存在性与唯一性。
• 依赖于 u_f 的逆为局部利普希茨连续且属于 W^{2,loc}_1 的事实，使得在变换空间中可使用随机分析工具。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在不假设增长函数 f 全局可积的条件下，建立具有无界终端值且在 z 上具有超线性增长的 QBSDE 解的存在性？
• RQ2 当 f 仅为局部可积且终端条件无界时，QBSDE 的最大解和最小解是否存在？
• RQ3 能否将经典 QBSDE 结果（如 f 为常数或多项式）推广到更一般的增长函数，如 e^{|y|^k}|z|^p 或 e^{e^{|y|}}|z|^2？
• RQ4 是否可能构建一种 QBSDE 的解框架，而无需对控制生成器施加连续性或可积性假设？
• RQ5 控制方法能否用于证明当 f 仅为局部可积时，f(|y|)|z|² 形式生成器的 QBSDE 的存在性与唯一性？

主要发现

• 本文证明了在生成器满足 |H(t,y,z)| ≤ α_t + β_t|y| + θ_t|z| + f(|y|)|z|² 时，即使 f 不全局可积，最大解和最小解也存在，其中 f 为正、连续且递增（或局部有界）。
• 该方法适用于具有超线性增长的生成器，如 y|z|、e^{|y|^k}|z|^p（k≥0，0≤p<2）和 e^{e^{|y|}}|z|^2，其适用范围已超出经典二次情形。
• 对于 f(y) = 1_{ℝ₊}(y) 的情形，本文证明了解的存在性，且对终端变量 ξ 无需任何可积性条件，体现了该方法的鲁棒性。
• 本文证明了当 f 仅为 ℝ 上局部可积时，由 f(|y|)|z|² 驱动的 BSDE 解的存在性与唯一性，这是对先前要求全局可积性的结果的重大扩展。
• 通过 u_f(x) = ∫₀ˣ exp(2∫₀ᶻ f(r)dr) dz 的变换，原 QBSDE 被转化为线性型 BSDE，使在变换空间中可使用标准存在性工具。
• 本文证明了 u_f 的逆为局部利普希茨连续且属于 W^{2,loc}_1(ℝ)，确保变换后的解过程行为良好，并满足随机积分所需的正则性条件。