[论文解读] Some applications of weighted norm inequalities to the analysis of optimal control problems

Harbir Antil, Enrique Otárola+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 45被引用 3

一句话总结

本文将Muckenhoupt权、加权Sobolev空间和加权范数不等式应用于非一致椭圆方程与点跟踪目标的最优控制问题，以简化基于Hilbert空间的分析与数值离散化。结果表明，该框架在收敛性分析和推广性方面相较于以往方法更为直接。

ABSTRACT

The purpose of this work is to illustrate how the theory of Muckenhoupt weights, weighted Sobolev spaces and weighted norm inequalities can be used in the analysis and discretization of optimal control problems. We consider: a linear quadratic optimal control problem where the state solves a nonuniformly elliptic equation; a problem with a pointwise tracking objective and one where the control is the amplitude of forces, modeled as point masses. For all three examples we propose and analyze numerical schemes. While some of these problems might have been considered before in the literature, our approach allows for a simpler, Hilbert space-based, analysis and discretization and further generalizations.

研究动机与目标

• 开发基于Hilbert空间的框架，用于分析具有非一致椭圆PDE的最优控制问题。
• 简化涉及点跟踪和控制作为点质量的控制问题的分析与离散化。
• 将加权范数不等式推广至最优控制设置，以改善收敛性与泛化性。
• 提供一种统一方法，其理论基础更清晰，并推广先前结果。

提出的方法

• 利用Muckenhoupt权处理状态方程中的非一致椭圆性。
• 应用加权Sobolev空间定义状态变量与伴随变量的适当可积性与正则性函数空间。
• 采用加权范数不等式控制数值格式分析中的误差估计。
• 基于加权框架，推导Galerkin型离散化的稳定性与收敛性结果。
• 设计并分析三类不同控制问题的数值格式：具有非一致椭圆性的跟踪问题、点跟踪问题以及通过点质量控制的问题。
• 在加权空间中建立变分格式与弱解之间的等价性，从而实现鲁棒的离散化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地应用加权范数不等式来分析具有非一致椭圆算子的最优控制问题中数值格式的收敛性？
• RQ2 与经典方法相比，使用加权Sobolev空间是否能带来更简洁的Hilbert空间分析？
• RQ3 Muckenhoupt权在稳定具有不规则系数的控制问题的解与离散化中起到什么作用？
• RQ4 所提出的框架如何推广现有关于点跟踪与点质量控制结果？
• RQ5 加权框架在多大程度上能提升有限元离散化的鲁棒性与收敛性？

主要发现

• Muckenhoupt权的使用使得具有非一致椭圆PDE的最优控制问题的Hilbert空间分析更加自然且简化。
• 加权Sobolev空间为处理不规则系数提供了合适的函数空间设置，并确保状态方程与伴随方程的适定性。
• 加权范数不等式导致数值离散化中更精确且更鲁棒的误差估计。
• 所提出的数值格式在弱于经典方法的假设下仍能收敛，从而增强了其适用性。
• 该框架可对点跟踪与点质量控制问题进行直接推广，且修改极少。
• 分析表明，加权方法在统一的理论基础上统一处理了不同类型的控制问题。