[论文解读] Some approximation properties of bivariate Bleimann-Butzer and Hahn operators based on (p,q)-integers

M. Mursaleen, Md. Nasiruzzaman|arXiv (Cornell University)|May 24, 2015

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过使用 $(p,q)$-整数，提出了一类新型的双变量 Bleimann-Butzer-Hahn 算子，建立了 Korovkin 型逼近定理，并通过连续模和 Lipschitz 型最大函数推导了收敛速度。主要贡献在于将经典逼近算子扩展到更一般的 $(p,q)$-微积分框架，并给出了明确的误差界。

ABSTRACT

Recently, Mursaleen et al applied (p,q)-calculus in approximation theory and introduced (p,q)-analogue of Bernstein operators in [16]. In this paper, we construct and introduce a generalization of the bivariate Bleimann-Butzer-Hahn operators based on (p,q)-integers and obtain Korovkin type approximation theorem of these operators. Furthermore, we compute the rate of convergence of the operators by using the modulus of continuity and Lipschitz type maximalfunctions.

研究动机与目标

• 将经典的双变量 Bleimann-Butzer-Hahn 算子推广到 $(p,q)$-整数框架，以提升逼近的灵活性。
• 利用测试函数 $e_{ij} = \left(\frac{u}{1+u}\right)^i\left(\frac{v}{1+v}\right)^j$，为新的 $(p,q)$-双变量算子建立 Korovkin 型逼近定理。
• 通过连续模和广义的 Lipschitz 型最大函数分析收敛速度。
• 通过引入更一般的 $(p,q)$-微积分框架，推广现有的基于 $q$-微积分的逼近算子。

提出的方法

• 利用 $(p,q)$-整数和 $(p,q)$-二项式展开构造双变量算子 $L^{(p_{n_1},p_{n_2}),(q_{n_1},q_{n_2})}_{n_1,n_2}(f;x,y)$。
• 采用 $(p,q)$-Euler 恒等式的类比形式：$\prod_{s=0}^{n-1}(p^s + q^s x) = \sum_{k=0}^n p^{\frac{(n-k)(n-k-1)}{2}} q^{\frac{k(k-1)}{2}} \left[\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right]_{p,q} x^k$。
• 通过验证测试函数 $e_{ij}$ 在 $i,j = 0,1,2$ 时的收敛性，应用 Korovkin 定理。
• 利用连续模 $\omega(f;\delta)$ 和 Lipschitz 型最大函数估计收敛速度。
• 通过 Hölder 不等式推导误差界，并结合 $\delta_{n_i}(x)$、$[n_i]_{p_{n_i},q_{n_i}}$ 和 $\gamma_i$ 参数进行估计。
• 建立如下形式的逐点收敛界：$|L(f;x,y) - f(x,y)| \leq M \left(\frac{[n_1]_{p,q}}{c_{n_1}+\gamma_1}\right)^{\alpha_1} \cdots + M\delta_{n_1}^{\alpha_1/2}(x)\delta_{n_2}^{\alpha_2/2}(y)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 $(p,q)$-整数推广经典的双变量 Bleimann-Butzer-Hahn 算子？
• RQ2 在何种条件下可保证所提出的 $(p,q)$-双变量算子满足 Korovkin 型收敛性？
• RQ3 $(p,q)$-双变量算子的收敛速度如何通过连续模和 Lipschitz 型函数来刻画？
• RQ4 $(p,q)$-框架相较于现有的基于 $q$-的逼近算子有何改进？
• RQ5 能否为使用这些新算子对连续函数进行逐点逼近推导出显式的误差界？

主要发现

• 在测试函数 $e_{ij}$ 的 Korovkin 条件下，所提出的 $(p,q)$-双变量 Bleimann-Butzer-Hahn 算子在 $\mathbb{R}^2_+$ 上一致收敛于函数 $f$。
• 收敛速度估计为 $O\left(\left(\frac{[n_1]_{p,q}}{c_{n_1}+\gamma_1}\right)^{\alpha_1} \left(\frac{\gamma_1}{[n_1]_{p,q}}\right)^{\alpha_1} \cdots \right)$，表明其依赖于 $n_i$、$\gamma_i$ 和 $[n_i]_{p,q}$。
• 误差界包含 $\delta_{n_i}^{\alpha_i/2}(x)$ 项，表明对光滑性更高的函数收敛性更优。
• 通过使用 Hölder 不等式，可推导出涉及 $u$ 和 $v$ 两个方向上算子逼近乘积的复合误差界。
• 不等式 $|L(f;x,y) - f(x,y)| \leq M \left(\frac{[n_1]_{p,q}}{c_{n_1}+\gamma_1}\right)^{\alpha_1} \cdots + M\delta_{n_1}^{\alpha_1/2}(x)\delta_{n_2}^{\alpha_2/2}(y)$ 确认了逐点收敛性，并显式体现了对 $n_i$ 和光滑性参数的依赖。
• 该框架推广了基于 $q$-微积分的算子，当 $p=1$ 时，$q$-版本可作为特例恢复。