[论文解读] Some Approximation Results by $(p,q)$-analogue of Bernstein-Stancu Operators (Revised)

M. Mursaleen, Khursheed J‎. ‎Ansari+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2016

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文修正了 $(p,q)$-Bernstein-Stancu 算子，以确保对所有 $x \in [0,1]$ 都有 $S_{n,p,q}(1;x) = 1$，从而纠正了原始公式中的缺陷。通过 Korovkin 定理，新算子被证明在 $[0,1]$ 上连续函数的统一收敛性成立，且利用连续模与矩估计建立了直接逼近定理。

ABSTRACT

In this paper, we have given a corrigendum to our paper "Some Approximation Results by $(p,q)$-analogue of Bernstein-Stancu Operators" published in Applied Mathematics and Computation $264 (2015) 392-402.$ We introduce a new analogue of Bernstein-Stancu operators and we call it as $(p,q)$-Bernstein-Stancu operators. We study approximation properties based on Korovkin's type approximation theorem of $(p,q)$-Bernstein-Stancu operators. We also establish some direct theorems.

研究动机与目标

• 通过引入缩放因子 $p^{-n(n-1)/2}$，修正原始 $(p,q)$-Bernstein-Stancu 算子，以确保其在 $[0,1)$ 上对常数函数的精确保持。
• 建立一类新的正线性算子，即 $(p,q)$-Bernstein-Stancu 算子，该算子同时推广了 $q$-Bernstein 算子与经典 Bernstein-Stancu 算子。
• 在序列 $p_n \to 1$，$q_n \to 1$，且 $p_n^n \to 1$，$q_n^n \to 1$ 的适当条件下，证明修正后算子在 $[0,1]$ 上连续函数的统一收敛性。
• 利用连续模与二阶矩估计，推导出直接逼近定理。
• 将逼近理论框架扩展至 $(p,q)$-微积分设置，实现更优的收敛行为与线性函数的保持性。

提出的方法

• 引入修正后的算子形式：$S_{n,p,q}(f;x) = \frac{1}{p^{n(n-1)/2}} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}_{p,q} p^{k(k-1)/2} x^k \prod_{s=0}^{n-k-1}(p^s - q^s x) f\left(\frac{p^{n-k}[k]_{p,q} + \alpha}{[n]_{p,q} + \beta}\right)$。
• 使用 $(p,q)$-整数定义为 $[n]_{p,q} = \frac{p^n - q^n}{p - q}$（当 $p \neq q$ 时），并给出 $p = q$ 与 $p = 1$ 的特殊情况。
• 利用组合恒等式与 $p,q$-微积分性质，证明 $S_{n,p,q}(1;x)$、$S_{n,p,q}(t;x)$ 与 $S_{n,p,q}(t^2;x)$ 的矩恒等式。
• 通过线性性与矩展开，推导出二阶矩 $S_{n,p,q}((t-x)^2;x)$，并表明其依赖于 $q[n]_{p,q}[n-1]_{p,q}$、$[n]_{p,q}$ 与 $p^{n-1}$。
• 通过验证当 $n \to \infty$ 时，算子在测试函数 $1, t, t^2$ 上的收敛性，应用 Korovkin 型逼近定理。
• 利用连续模 $\omega(f;\delta)$ 建立直接逼近结果，表明收敛速度取决于 $\delta_n = \sqrt{S_{n,p,q}((t-x)^2;x)}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何修正 $(p,q)$-Bernstein-Stancu 算子，以确保在 $[0,1]$ 上对常数函数 $f(x) = 1$ 的精确保持？
• RQ2 序列 $p_n$ 与 $q_n$ 需满足何种条件，才能保证修正后算子在 $[0,1]$ 上连续函数的统一收敛？
• RQ3 修正后的 $(p,q)$-Bernstein-Stancu 算子的显式矩估计是什么，特别是 $S_{n,p,q}(t;x)$ 与 $S_{n,p,q}(t^2;x)$ 的估计？
• RQ4 与原始公式相比，修正后算子在收敛速度与误差界方面如何提升逼近精度？
• RQ5 能否为新的 $(p,q)$-Bernstein-Stancu 算子建立基于连续模的直接逼近定理？

主要发现

• 修正后的 $(p,q)$-Bernstein-Stancu 算子对所有 $x \in [0,1]$ 满足 $S_{n,p,q}(1;x) = 1$，从而纠正了原始版本中的根本性缺陷。
• 当 $\alpha = \beta = 0$ 时，新算子退化为先前文献中定义的 $(p,q)$-Bernstein 算子，确保与已建立的 $(p,q)$-微积分框架一致。
• 算子 $S_{n,p,q}(t;x)$ 的显式表达式为 $\frac{[n]_{p,q}}{[n]_{p,q} + \beta}x + \frac{\alpha}{[n]_{p,q} + \beta}$，表明其具有线性逼近行为。
• 二阶矩为 $S_{n,p,q}(t^2;x) = \frac{q[n]_{p,q}[n-1]_{p,q}}{([n]_{p,q} + \beta)^2}x^2 + \frac{[n]_{p,q}(2\alpha + p^{n-1})}{([n]_{p,q} + \beta)^2}x + \frac{\alpha^2}{([n]_{p,q} + \beta)^2}$，准确捕捉了二次变差。
• 在条件 $\lim_{n\to\infty} p_n = 1$，$\lim_{n\to\infty} q_n = 1$，$\lim_{n\to\infty} p_n^n = 1$ 与 $\lim_{n\to\infty} q_n^n = 1$ 下，算子在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $f$。
• 二阶矩 $S_{n,p,q}((t-x)^2;x)$ 随 $n \to \infty$ 收敛于零，确认了 Korovkin 意义下的收敛性，且显式误差项涉及 $[n]_{p,q}$、$p^{n-1}$ 与 $\beta$。