[论文解读] Some approximation results on Bleimann-Butzer-Hahn operators defined by (p,q)-integers

M. ‎Mursaleen, Md. Nasiruzzaman+2 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2015

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 7被引用 14

一句话总结

本文引入了一类基于 $(p,q)$-整数的新型 $(p,q)$-Bleimann-Butzer-Hahn 算子，推广了经典版本与 $q$-类比版本。建立了 Korovkin 型逼近定理，并利用连续模提供了收敛性估计，证明了在特定参数条件下，广义 Lipschitz 型空间中的函数具有统一收敛性。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a generalization of the Bleimann-Butzer-Hahn operators based on (p,q)-integers and obtain Korovkin's type approximation theorem for these operators. Furthermore, we compute convergence of these operators by using the modulus of continuity.

研究动机与目标

• 通过使用 $(p,q)$-整数推广经典 Bleimann-Butzer-Hahn 算子，以提升逼近的灵活性。
• 利用测试函数 $\left(\frac{t}{1+t}\right)^\nu$（$\nu = 0,1,2$）建立新型 $(p,q)$-BBH 算子的 Korovkin 型逼近定理。
• 通过连续模与 Lipschitz 型最大函数分析算子的收敛速率。
• 通过引入更一般的 $(p,q)$-微积分框架，拓展先前关于 $q$-BBH 算子的研究结果。

提出的方法

• 利用 $(p,q)$-整数定义 $(p,q)$-Bleimann-Butzer-Hahn 算子，给出显式核函数 $\ell_n^{p,q}(x) = \prod_{s=0}^{n-1}(p^s + q^s x)$。
• 利用 $(p,q)$-二项式展开与 $(p,q)$-整数 $[k]_{p,q} = \frac{p^k - q^k}{p - q}$ 构造算子的权函数。
• 通过验证测试函数 $\left(\frac{t}{1+t}\right)^\nu$（$\nu = 0,1,2$）的收敛性，应用 Korovkin 定理。
• 利用连续模与 Lipschitz 型条件，估计函数在 $\widetilde{W}_{\alpha,[0,\infty)}$ 中的逼近误差。
• 通过 Hölder 不等式与 $[n]_{p_n,q_n}$、$[n+1]_{p_n,q_n}$ 及 $c_n = [n+1]_{p_n,q_n} + \gamma$ 的渐近分析，推导收敛界。
• 通过证明算子范数差 $\|L_n^{(p_n,q_n),\gamma}(f) - f\|_{C_B} \to 0$ 当 $n \to \infty$ 时成立，证明一致收敛性，且在参数约束下成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过使用 $(p,q)$-整数推广经典 Bleimann-Butzer-Hahn 算子，以实现更好的逼近灵活性？
• RQ2 所提出的 $(p,q)$-BBH 算子是否对测试函数 $\left(\frac{t}{1+t}\right)^\nu$（$\nu = 0,1,2$）满足 Korovkin 逼近定理？
• RQ3 $(p,q)$-BBH 算子的收敛速率如何，以连续模与 Lipschitz 型条件表示？
• RQ4 当 $p_n \to 1^-$ 且 $q_n \to 1^-$ 时，收敛行为如何变化？其极限行为与 $q$-BBH 算子有何关系？

主要发现

• $(p,q)$-BBH 算子对 $\left(\frac{t}{1+t}\right)^\nu$（$\nu = 0,1,2$）满足 Korovkin 逼近定理，确保在 $\mathbb{R}_+$ 上的一致收敛性。
• 收敛速率被如下表达式所界定：$3M \cdot \max\left\{ \left(\frac{[n]_{p_n,q_n}}{c_n + \gamma}\right)^\alpha \left(\frac{\gamma}{[n]_{p_n,q_n}}\right)^\alpha, \left|1 - \frac{[n+1]_{p_n,q_n}}{c_n + \gamma}\right|^\alpha \left(\frac{p_n[n]_{p_n,q_n}}{[n+1]_{p_n,q_n}}\right)^\alpha, 1 - 2\frac{p_n[n]_{p_n,q_n}}{[n+1]_{p_n,q_n}} + \frac{q_n[n]_{p_n,q_n}[n-1]_{p_n,q_n}}{[n+1]_{p_n,q_n}^2} \right\}$。
• 当 $p_n = 1$ 时，算子退化为 $q$-BBH 算子；当 $\gamma = 0$ 且 $q_n = 1$ 时，可恢复 Balázs 型 $q$-BBH 算子的推广形式。
• 对于 $\widetilde{W}_{\alpha,[0,\infty)}$ 中的函数，收敛是一致的，且误差以 $\delta_n^{\alpha/2}(x)$ 的形式衰减，其中 $\delta_n(x)$ 为算子的二阶矩。
• 该界依赖于 $\left(\frac{[n]_{p_n,q_n}}{c_n + \gamma}\right)^\alpha \left(\frac{\gamma}{[n]_{p_n,q_n}}\right)^\alpha$，表明对 $\gamma$ 与 $n$ 敏感。
• 当 $n \to \infty$ 时，若满足 $\lim_{n \to \infty} \frac{[n]_{p_n,q_n}}{c_n + \gamma} = 1$，则收敛成立，确保渐近稳定性。