[论文解读] Some Bernstein functions and integral representations concerning harmonic and geometric means

Feng Qi, Xiaojing Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2013

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 25被引用 12

一句话总结

本文证明了调和平均 $ H_{x,y}(t) = H(x+t, y+t) $ 和几何平均 $ G_{x,y}(t) = G(x+t, y+t) $ 在 $ t \in (-\min\{x,y\}, \infty) $ 上是 Bernstein 函数，通过 Stieltjes 型积分和完全单调函数的性质，为这两种平均建立了显式的积分表示。关键贡献是通过 $ \lim_{t \to \infty} (G_{x,y}(t) - t) \geq G(x,y) $ 的积分表示，给出了经典 AM-GM 不等式的全新证明。

ABSTRACT

It is general knowledge that the harmonic mean $H(x,y)=\frac2{\frac1x+\frac1y}$ and that the geometric mean $G(x,y)=\sqrt{xy}\,$, where $x$ and $y$ are two positive numbers. In the paper, the authors show by several approaches that the harmonic mean $H_{x,y}(t)=H(x+t,y+t)$ and the geometric mean $G_{x,y}(t)=G(x+t,y+t)$ are all Bernstein functions of $t\in(-\min\{x,y\},\infty)$ and establish integral representations of the means $H_{x,y}(t)$ and $G_{x,y}(t)$.

研究动机与目标

• 建立偏移调和平均 $ H_{x,y}(t) $ 和几何平均 $ G_{x,y}(t) $ 在 $ t \in (-\min\{x,y\}, \infty) $ 上的 Bernstein 函数性质。
• 利用 Stieltjes 积分和完全单调函数，为 $ H_{x,y}(t) $ 和 $ G_{x,y}(t) $ 推导出显式的积分表示。
• 通过 $ \lim_{t \to \infty} (G_{x,y}(t) - t) \geq G(x,y) $ 的积分表示，提供经典算术-几何平均不等式的全新证明。
• 将 $ G_{x,y}(t) $ 的倒数表征为对数完全单调函数，将其与已知的特殊函数类联系起来。
• 通过引入一个通过超几何型积分定义的新函数 $ \rho $，推广已知的积分表示。

提出的方法

• 通过证明其导数在 $ (-\min\{x,y\}, \infty) $ 上完全单调，证明调和平均 $ H_{x,y}(t) $ 是 Bernstein 函数，利用恒等式 $ H_{x,y}'(t) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{(x+t)^2} + \frac{1}{(y+t)^2} \right) $。
• 通过恒等式 $ G_{x,y}(t) = \sqrt{(x+t)(y+t)} $ 分析几何平均 $ G_{x,y}(t) $，并将导数 $ G_{x,y}'(t) $ 表示为常数与一个完全单调函数之和。
• 利用函数 $ H(u) = \frac{1}{2}\left( h(u) + \frac{1}{h(u)} \right) $（其中 $ h(u) = \sqrt{u} $，$ u = \frac{y+z}{x-y} $）推导出 $ G_{x,y}'(z) $ 的积分表示，得到一个 Stieltjes 型积分。
• 通过从 0 到 $ t $ 积分 $ G_{x,y}'(z) $，交换积分顺序，并利用通过超几何积分定义的函数 $ \rho $，获得 $ G_{x,y}(t) $ 的积分表示。
• 利用柯西积分公式和 Stieltjes-Perron 逆公式，推导出关键恒等式，如 $ G_{x,y}(t) = G(x,y) + t + \frac{x-y}{2\pi} \int_0^\infty \frac{\rho((x-y)s)}{s} e^{-ys} (1 - e^{-ts}) \, ds $。
• 显式定义函数 $ \rho(s) $ 为 $ \rho(s) = \frac{1}{\pi} \int_0^1 \frac{\sin(\pi t)}{t^{1/2}(1-t)^{1/2}} \left( \frac{1}{(1 + t(s/2)^2)^{1/2}} \right) \, dt $，从而实现积分表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 偏移调和平均 $ H_{x,y}(t) = H(x+t, y+t) $ 在 $ (-\min\{x,y\}, \infty) $ 上是否为 Bernstein 函数？
• RQ2 偏移几何平均 $ G_{x,y}(t) = G(x+t, y+t) $ 在 $ (-\min\{x,y\}, \infty) $ 上是否为 Bernstein 函数？
• RQ3 能否利用 Stieltjes 型积分，为 $ H_{x,y}(t) $ 和 $ G_{x,y}(t) $ 推导出显式的积分表示？
• RQ4 极限 $ \lim_{t \to \infty} (G_{x,y}(t) - t) $ 是否能导出 AM-GM 不等式的全新证明？
• RQ5 $ G_{x,y}(t) $ 的倒数在 $ (-\min\{x,y\}, \infty) $ 上是否为对数完全单调函数？

主要发现

• 调和平均 $ H_{x,y}(t) $ 在 $ (-\min\{x,y\}, \infty) $ 上是 Bernstein 函数，因为其导数完全单调。
• 几何平均 $ G_{x,y}(t) $ 在 $ (-\min\{x,y\}, \infty) $ 上是 Bernstein 函数，其证明基于其导数的完全单调性。
• 建立了 $ G_{x,y}(t) $ 的显式积分表示：$ G_{x,y}(t) = G(x,y) + t + \frac{x-y}{2\pi} \int_0^\infty \frac{\rho((x-y)s)}{s} e^{-ys} (1 - e^{-ts}) \, ds $，其中 $ \rho $ 为正函数。
• 极限 $ \lim_{t \to \infty} (G_{x,y}(t) - t) = A(x,y) $ 满足 $ A(x,y) \geq G(x,y) $，且等号成立当且仅当 $ x = y $，从而为 AM-GM 不等式提供了全新证明。
• $ G_{x,y}(t) $ 的倒数在 $ (-\min\{x,y\}, \infty) $ 上是对数完全单调函数，确认其属于类 $ \mathcal{L}[(0,\infty)] $。
• 用于积分表示的函数 $ \rho(s) $ 通过超几何型积分定义，确保了 Stieltjes 表示中测度的收敛性与正性。