[论文解读] Some classifications of biharmonic hypersurfaces with constant scalar curvature

Shun Maeta, Ye‐Lin Ou|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文分类了爱因斯坦流形和空间形式中具有常数量曲率的双调和超曲面，证明在某些曲率和可积性条件下——如 $ L^p $-有界 $ |\nabla H| $ 或 Ricci 曲率有界——完备双调和超曲面为极小或具有常数平均曲率。关键结果在特定几何设定下支持陈猜想与 Balmuş-Montaldo-Oniciuc 猜想，尤其是在球面和非正曲率爱因斯坦空间中。

ABSTRACT

We give some classifications of biharmonic hypersurfaces with constant scalar curvature. These include biharmonic Einstein hypersurfaces in space forms, compact biharmonic hypersurfaces with constant scalar curvature in a sphere, and some complete biharmonic hypersurfaces of constant scalar curvature in space forms and in a non-positively curved Einstein space. Our results provide additional cases (Theorem 2.3 and Proposition 2.8) that supports the conjecture that a biharmonic submanifold in a sphere has constant mean curvature, and two more cases that support Chen's conjecture on biharmonic hypersurfaces (Corollaries 2.2,2.7).

研究动机与目标

• 对爱因斯坦流形和空间形式中具有常数量曲率的双调和超曲面进行分类。
• 为陈猜想提供进一步证据，即欧氏空间中的双调和子流形为极小曲面。
• 支持 Balmuş-Montaldo-Oniciuc 猜想，即球面中的双调和子流形具有常数平均曲率。
• 建立完备双调和超曲面在具有常数量曲率时为极小或具有常数平均曲率的条件。
• 通过几何分析与最大值原理，将非正曲率爱因斯坦空间中双调和超曲面的结果加以推广。

提出的方法

• 利用从双能量泛函临界点条件导出的爱因斯坦流形中双调和超曲面的双调和方程。
• 应用高斯方程和 Weingarten 方程，关联超曲面与周围空间的曲率不变量。
• 应用 $ |\nabla H|^2 $ 的 Bochner 公式，结合 Ricci 曲率有界与双调和方程，推导微分不等式。
• 对 $ |\nabla H|^2 $ 应用定理 2.5 中的最大值原理 (ii) 和 (iii)，在 $ L^p $ 或曲率有界条件下证明其为常数。
• 利用牛顿不等式 $ |A|^2 \geq mH^2 $ 估计 $ |\nabla H|^2 $ 的拉普拉斯，得出在曲率假设下 $ \Delta|\nabla H|^2 \geq \varepsilon|\nabla H|^2 $。
• 通过第一双调和方程 $ \Delta H - H(|A|^2 - \lambda) = 0 $ 分析平均曲率函数 $ H $ 的结构，得出当 $ |A|^2 = \lambda \leq 0 $ 时 $ H = 0 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非正曲率爱因斯坦流形中，具有常数量曲率的完备双调和超曲面在何种条件下为极小？
• RQ2 在球面中，具有常数量曲率且满足 $ H^2 \geq \frac{2\varepsilon + 4}{m(5m + 4)} $ 的完备双调和超曲面，在条件 (A)、(B) 或 (C) 下是否具有常数平均曲率？
• RQ3 $ |\nabla H| $ 的 $ L^p $-可积性或 Ricci 曲率有界是否能推出 $ H $ 为常数或极小？
• RQ4 曲率有界与 Bochner 公式如何约束双调和超曲面中平均曲率函数 $ H $？
• RQ5 在常数量曲率背景下，这些结果在多大程度上支持陈猜想与 Balmuş-Montaldo-Oniciuc 猜想？

主要发现

• 在非正曲率爱因斯坦流形中，若 $ |\nabla H| \in L^p $（$ 2 < p < \infty $）或 $ |\nabla H| \in L^2 $ 且 Ricci 曲率下界为 $ -c(1 + r^2(x)) $，则具有常数量曲率的完备双调和超曲面为极小曲面。
• 若对某 $ \varepsilon > 0 $，有 $ H^2 \geq \frac{2\varepsilon + 4}{m(5m + 4)} $，则在条件 (A)、(B) 或 (C) 下，$ S^{m+1} $ 中的完备双调和超曲面具有常数平均曲率。
• 推论 2.7 确认了陈猜想的部分情形：在欧氏空间中，若具有常数量曲率且 $ |\nabla H| \in L^p $（$ 2 < p < \infty $）的完备双调和超曲面为极小曲面。
• 定理 2.3 提供了支持 Balmuş-Montaldo-Oniciuc 猜想的新情形，表明在 $ S^{m+1} $ 中，若具有常数量曲率且 $ H^2 $ 有足够下界，则双调和超曲面具有常数平均曲率。
• 命题 2.6 建立了在非正曲率爱因斯坦空间中，此类超曲面在 $ L^p $ 或曲率有界的 $ |\nabla H| $ 条件下为极小曲面，原因在于 $ \lambda $ 的非正性及 $ |A|^2 = \lambda \leq 0 $ 意味着 $ |A|^2 = 0 $。
• 分析表明，在给定假设下 $ \Delta|\nabla H|^2 \geq \varepsilon|\nabla H|^2 $，从而推出 $ |\nabla H|^2 $ 为常数，最终由双调和方程得出 $ H $ 为常数或零。