[论文解读] Some completely monotonic properties for the $(p,q )$-gamma function

Valmir Krasniqi, Faton Merovcı|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2014

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 15被引用 15

一句话总结

本文建立了 $(p,q)$-gamma 函数和 $(p,q)$-psi 函数的完全单调性与对数完全单调性，推广了经典 gamma 函数和 psi 函数的已知结果。研究证明，在特定参数条件下，$(p,q)$-psi 函数及其相关比值是完全单调的，并在 $p \to \infty$ 和 $q \to 1$ 时恢复已知结果。其主要贡献在于为 $q$-和 $p$-变形特殊函数的单调性提供了一个统一框架。

ABSTRACT

It is defined $Γ_{p,q}$ function, a generalize of $Γ$ function. Also, we defined $ψ_{p,q}$-analogue of the psi function as the log derivative of $Γ_{p,q}$. For the $Γ_{p,q}$ -function, are given some properties related to convexity, log-convexity and completely monotonic function. Also, some properties of $ψ_{p,q} $ analog of the $ψ$ function have been established. As an application, when $p o \infty, q o 1,$ we obtain all result of \cite{Valmir1} and \cite{SHA}.

研究动机与目标

• 将完全单调函数理论推广至 $(p,q)$-变形 gamma 函数与 psi 函数。
• 建立 $(p,q)$-psi 函数及其相关比值为完全单调或对数完全单调的充分条件。
• 在 $p \to \infty$ 和 $q \to 1$ 的极限下，从 $q$-gamma 函数与 $p$-gamma 函数中恢复经典结果。
• 为 $q$-和 $p$-变形特殊函数的单调性提供统一框架，适用于不等式与渐近分析。

提出的方法

• 将 $(p,q)$-gamma 函数 $\Gamma_{p,q}(x)$ 定义为使用 $q$-整数与 $p$-阶乘的古典 gamma 函数的双参数推广。
• 将 $(p,q)$-psi 函数 $\psi_{p,q}(x)$ 定义为 $\Gamma_{p,q}(x)$ 的对数导数，并推导其积分表示与级数表示。
• 通过分析导数的符号并利用级数展开，证明当 $q > 0$ 且 $x > 0$ 时，$\psi_{p,q}^{(k)}(x)$ 是完全单调的。
• 利用积分表示与积分号下求导法，证明当 $s > t$ 时，通过 $\Gamma_{p,q}$ 定义的比值 $h_{\beta,p,q}(x)$ 在 $(-\alpha, \infty)$ 上是对数完全单调的。
• 利用交换图结构证明：当 $p \to \infty$ 时，$\Gamma_{p,q}(x) \to \Gamma_q(x)$；当 $q \to 1$ 时，$\Gamma_{p,q}(x) \to \Gamma_p(x)$，确保与已知极限的一致性。
• 将所得结果应用于函数 $f_1(x) = \Gamma_{p,q}(a+bx)^c / \Gamma_{p,q}(d+ex)^f$，在特定系数与符号约束下证明其单调性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$(p,q)$-psi 函数 $\psi_{p,q}(x)$ 在 $(0, \infty)$ 上是完全单调的？
• RQ2 当 $s > t$ 时，通过 $\Gamma_{p,q}$ 定义的比值 $h_{\beta,p,q}(x)$ 在 $(-\alpha, \infty)$ 上何时是对数完全单调的？
• RQ3 当 $p \to \infty$ 和 $q \to 1$ 时，$\psi_{p,q}(x)$ 的单调性性质如何与经典 $\psi(x)$ 和 $\psi_q(x)$ 函数的性质相关联？
• RQ4 在系数约束 $ef \geq bc > 0$ 且 $\psi_{p,q}(a+bx) > 0$ 下，函数 $f_1(x) = \Gamma_{p,q}(a+bx)^c / \Gamma_{p,q}(d+ex)^f$ 能否导出不等式？
• RQ5 $(p,q)$-gamma 函数能否用于推广经典 gamma 函数的已知不等式，如文献 [21] 中所述？

主要发现

• 对于所有 $q > 0$ 和 $p \in \mathbb{N}$，$(p,q)$-psi 函数 $\psi_{p,q}(x)$ 在 $(0, \infty)$ 上是严格完全单调的，因为对所有 $n \geq 0$ 和 $x > 0$，有 $(-1)^n \psi_{p,q}^{(n)}(x) > 0$。
• 当 $s > t$ 时，函数 $h_{\beta,p,q}(x)$ 在 $(-\alpha, \infty)$ 上是对数完全单调的，因为对所有 $k \geq 1$，有 $(-1)^k [\ln h_{\beta,p,q}(x)]^{(k)} \geq 0$。
• 对于 $f_1(x) = \Gamma_{p,q}(a+bx)^c / \Gamma_{p,q}(d+ex)^f$，若 $ef \geq bc > 0$ 且 $\psi_{p,q}(a+bx) > 0$ 或 $\psi_{p,q}(d+ex) > 0$，则该函数在 $[0, \infty)$ 上单调递减，且在 $x \in [0,1]$ 上满足双重不等式 $\Gamma_{p,q}(a+b)^c / \Gamma_{p,q}(d+e)^f \leq f_1(x) \leq \Gamma_{p,q}(a)^c / \Gamma_{p,q}(d)^f$。
• 当 $bc \geq ef > 0$ 且 $\psi_{p,q}(d+ex) < 0$ 或 $\psi_{p,q}(a+bx) < 0$ 时，函数 $f_1(x)$ 同样在 $[0, \infty)$ 上单调递减，且在 $[0,1]$ 上成立相同的双重不等式。
• 在 $p \to \infty$ 和 $q \to 1$ 的极限下，结果分别恢复了文献 [12] 和 [21] 中的已知定理，确认与经典特殊函数理论的一致性。
• 级数表示 $\psi_{q}^{(k)}(x) = \log^{k+1} q \sum_{n \geq 1} \frac{n^k q^{nx}}{1 - q^n}$（当 $0 < q < 1$ 时）证实了 $\psi_q^{(k)}(x)$ 的完全单调性，该性质通过 $p$-变形推广至 $(p,q)$-情形。