[论文解读] Some critical point theorems and applications

Guangcun Lu|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文通过利用新颖的分裂定理，建立了连续方向可微泛函的新临界点定理，使假设条件比以往结果更弱。它推广了临界群和莫尔斯不等式的计算，尤其适用于退化和符号改变的临界点，并将其应用于证明非线性高阶椭圆方程的多重解。

ABSTRACT

This paper is a continuation of \cite{Lu1}. In Part I, applying the new splitting theorems developed therein we generalize previous some results on computations of critical groups and some critical point theorems to weaker versions. In Part II (in progress), they are used to study multiple solutions for nonlinear higher order elliptic equations described in the introduction of \cite{Lu1}.

研究动机与目标

• 通过将平滑性假设从 $C^2$ 放松为连续方向可微泛函，扩展先前的临界点定理。
• 在比早期工作更弱的条件下，推广退化和符号改变临界点处临界群的计算。
• 构建一个避免复杂次微分和弱斜率计算的框架，增强在变分问题中的适用性。
• 将改进的临界点理论应用于证明非线性高阶椭圆方程存在多重解。
• 建立奇异上同调中的同伦等价与同构，将临界群与子水平集的拓扑不变量联系起来。

提出的方法

• 利用连续方向可微泛函的新分裂定理，替代经典的 $C^2$ 假设。
• 应用形变引理和弱/强斜率概念，通过弱斜率 $|df|(u)$ 和强斜率 $|\nabla f(u)|$ 分析临界点。
• 采用 Cerami $(C)_c$ 条件和 Palais-Smale $(PS)_c$ 条件，确保临界序列的紧致性。
• 使用同伦等价和余维同构（通过引理 5.10、5.11、5.12）将临界群与子水平集的相对同调联系起来。
• 应用同构 $C^q({\frak L}, u) \cong \bar{H}^q(N \cup \mathcal{L}^{c-\delta}, \mathcal{L}^{c-\delta} \cap N)$ 计算孤立临界点处的临界群。
• 建立 $\bar{H}^q(\mathcal{L}^{c+\delta} \cup W_\varepsilon, \mathcal{L}^{c-\delta} \cup W_\varepsilon) \cong \bigoplus_{i=1}^m C^q({\frak L}, u_i)$，将拓扑与临界群结构联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于仅连续方向可微但不需 $C^2$ 或 $C^1$ 光滑性的泛函，临界点定理如何推广？
• RQ2 在比以往更弱的紧致性和可微性假设下，退化和符号改变临界点处的临界群结构是怎样的？
• RQ3 能否通过避免次微分和弱斜率计算来简化临界群的计算？
• RQ4 在何种条件下，子水平集的拓扑不变量可推出多重非平凡临界点的存在？
• RQ5 相对同调对之间的同伦等价如何与变分问题中临界群结构相关联？

主要发现

• 本文证明了当 $\delta > 0$ 很小时，有 $C^q({\frak L}, u) \cong \bar{H}^q({\mathcal{L}^{c+\delta} \cup W_\varepsilon}, {\mathcal{L}^{c-\delta} \cup W_\varepsilon})$，将临界群与相对同调联系起来。
• 对于单个孤立临界点 $u$ 在水平值 $c_1$ 处，临界群满足 $C^q({\frak L}, u) \cong \delta_{q1} \mathbb{Z}_2$，表明存在一个非平凡的一维临界群。
• 若 $c_1 < {\frak L}(\theta)$，则 $K^*_c$ 至少包含一个非平凡临界点，且在给定假设下有 $K^*_{c_1} \neq \emptyset$。
• 当 $c \in [b,d] \setminus \{c\}$ 且 $K^*_c = \emptyset$ 时，包含关系 $({\mathcal{L}^{b} \cup W_\varepsilon}, {\mathcal{L}^{a} \cup W_\varepsilon}) \to ({\mathcal{L}^{d} \cup W_\varepsilon}, {\mathcal{L}^{a} \cup W_\varepsilon})$ 是同伦等价，意味着拓扑不变性。
• 在 $u$ 处的临界群计算同构于 $\bar{H}^q(N \cup \mathcal{L}^{c-\delta}, \mathcal{L}^{c-\delta} \cap N)$，使通过邻域形变进行拓扑分析成为可能。
• 结果 $\bar{H}^q(H, W_\varepsilon; \mathbb{Z}_2) \cong \delta_{q1} \mathbb{Z}_2$ 确认了空间的拓扑复杂性，支持非平凡临界点的存在。