[论文解读] Some definite logarithmic integrals from Euler sums, and other integration results

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文推导出涉及多对数函数和有理函数的多重对数积分的显式闭式表达式，将其与欧拉和及黎曼ζ函数值联系起来。通过利用特殊函数（如多伽马函数和赫尔维茨ζ函数）的性质，建立了新的积分表示和求和恒等式，尤其针对带有对数和有理项的积分，关键结果以整数自变量的黎曼ζ函数值表示。

ABSTRACT

We present explicit expressions for multi-fold logarithmic integrals that are equivalent to sums over polygamma functions at integer argument. Such relations find application in perturbative quantum field theory, quantum chemistry, analytic number theory, and elsewhere. The analysis includes the use of properties of a variety of special functions.

研究动机与目标

• 推导 (k+1) 重对数积分的显式表达式，以欧拉和与ζ函数值表示。
• 建立定对数积分与整数自变量处多伽马函数求和之间的联系。
• 利用生成函数和积分变换，为交错多伽马函数和调和数求和提供新的积分表示。
• 将结果推广至参数化的多伽马求和，以及涉及有理函数和多对数函数的积分。
• 通过特殊函数恒等式统一并推广已知的欧拉和与对数积分结果。

提出的方法

• 使用分部积分法和生成函数，特别是恒等式 $\frac{1}{2}\ln^2(1-x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k+1}x^{k+1}$，将对数积分与调和数求和联系起来。
• 应用伽马函数积分 $\int_0^1 t^r \ln^{k-1}t \, dt = (-1)^{k-1} \frac{(k-1)!}{(r+1)^k}$，实现求和与积分的交换。
• 采用欧拉的调和数求和恒等式：$2\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^m} = (m+2)\zeta(m+1) - \sum_{n=1}^{m-2} \zeta(m-n)\zeta(n+1)$，其中 $m \geq 2$。
• 利用逆拉普拉斯变换和多伽马函数的积分表示，推导出涉及 $\psi^{(k)}(\ell)/\ell$ 的求和的替代形式。
• 应用digamma函数和多伽马函数的函数方程，包括 $\psi^{(j)}(x+1) = \psi^{(j)}(x) + (-1)^j j! x^{-j-1}$，以简化求和。
• 结合 $\ln(1-x)$ 和 $\text{Li}_s(-x)$ 的级数展开，通过逐项积分，计算在 $[0,1]$ 上带有有理权重的积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 形式为 $\int_0^1 \frac{\ln(1-t)}{1-t} \ln^k t \, dt$ 的 (k+1) 重对数积分如何用ζ函数表示？
• RQ2 求和 $\sum_{r=1}^\infty \frac{H_r}{r^{k+1}}$ 与多伽马函数求和 $\sum_{\ell=1}^\infty \frac{\psi^{(k)}(\ell)}{\ell}$ 之间有何关系？
• RQ3 交错多伽马求和如 $\sum_{j=1}^\infty \frac{(-1)^j}{j^3} \psi(j+1)$ 是否能通过积分变换或多对数函数表示？
• RQ4 涉及 $\psi^{(j)}(n)$ 和有理函数的求和（如 $\int_0^1 \frac{\ln(1+x) \ln^2 x}{1-x} dx$）存在哪些积分表示？
• RQ5 赫尔维茨ζ函数和多伽马函数的函数方程如何用于简化多重对数积分？

主要发现

• 积分 $\int_0^1 \frac{\ln(1-t)}{1-t} \ln^k t \, dt$ 对于 $k \geq 1$ 的值为 $\frac{(-1)^{k+1}}{2} k! \left[(k+1)\zeta(k+2) - \sum_{n=1}^{k-1} \zeta(k-n+1)\zeta(n+1)\right]$。
• 求和 $\sum_{r=1}^\infty \frac{H_r}{r^{k+1}}$ 等价于 $\sum_{\ell=1}^\infty \frac{\psi^{(k)}(\ell)}{\ell} \cdot \frac{(-1)^{k+1}}{k!}$，将调和数求和与多伽马函数联系起来。
• 当 $k=5$ 时，该积分的值为 $-\frac{4}{3}\pi^4\zeta(3) - 20\pi^2\zeta(5) + 360\zeta(7)$，表明其显式依赖于ζ函数值。
• 积分 $I_2 = \int_0^1 \frac{\ln(1+t) \ln^2 t}{1-t} dt$ 等于 $\frac{7}{2}\ln 2 \cdot \zeta(3) - \frac{19}{720}\pi^4$，通过交错多伽马求和推导得出。
• 求和 $\sum_{j=1}^\infty \frac{(-1)^j}{j^3} \psi(j+1)$ 表示为 $\frac{1}{4}\int_0^1 \left[4\text{Li}_3(-t) + 3\zeta(3)\right]\frac{dt}{t-1} + \frac{3}{4}\gamma\zeta(3)$，提供了新的积分表示。
• 利用倍乘公式 $\psi^{(2)}(2x) = \frac{1}{8}\left[\psi^{(2)}(x) + \psi^{(2)}(x+\frac{1}{2})\right]$，推导出恒等式 $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \psi^{(2)}(k) = -\frac{5}{2}\zeta(4)$。