[论文解读] Some ergodic properties of metrics on hyperbolic groups

Uri Bader, Alex Furman|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文通过构造测地流的类比，建立了非初等 Gromov-双曲群在其边界及边界点对空间上的作用的遍历性性质。证明了边界作用的相对稳定与弱混合性质，并将经典负曲率流形设定下的遍历性结果推广至更一般的度量结构。

ABSTRACT

Let $Γ$ be a non-elementary Gromov-hyperbolic group, and $\partial Γ$ denote its Gromov boundary. We consider $Γ$-invariant proper $δ$-hyperbolic, quasi-convex metric $d$ on $Γ$, and the associated Patterson-Sullivan measure class $[ν]$ on $\partial^{(2)}Γ$, and its square $[ν imesν]$ on $\partial^{(2)}Γ$ -- the space of distinct pairs of points on the boundary. We construct an analogue of a geodesic flow to study ergodicity properties of the $Γ$-actions on $(\partialΓ,ν)$ and on $(\partial^{(2)}Γ,[ν imesν])$.

研究动机与目标

• 将负曲率流形上测地流的遍历性结果推广至具有任意合适、δ-双曲、拟凸度量的 Gromov-双曲群更广泛设定。
• 通过构造的测地流类比，建立 $\Gamma$-作用在边界 $\partial\Gamma$ 和 $\partial^2\Gamma$ 上的相对稳定与弱混合性质。
• 证明边界作用在 Patterson-Sullivan 测度类下是相对度量遍历的，并满足相对稳定与弱混合（SAT）性质。
• 将已知的几何背景结果（如负曲率流形）推广至一般粗几何设定，包括字度量与 Green 度量。

提出的方法

• 在 ${\partial^2\Gamma} \times \mathbb{R}$ 上构造一个类流动态系统，作为测地流的类比，利用双曲空间 $M$ 中拟测地线的动力学。
• 将增长指数 $\delta_\Gamma$ 定义为度量空间 $M$ 中球体积的渐近增长速率，其值与基点及等价类 $[d]$ 中的代表度量无关。
• 利用 $\partial\Gamma$ 上的 Patterson-Sullivan 测度类 $[\nu^{\text{PS}}]$ 及其在 $\partial^2\Gamma$ 上的平方 $[\nu^{\text{PS}} \times \nu^{\text{PS}}]$，并证明其在群作用下不变。
• 对 $X = \partial^2\Gamma \times \mathbb{R}$ 上诱导的流应用 Poincaré 递回定理，利用 Bowen-Margulis 测度 $\mu^{\text{BM}}$ 分析递回与混合行为。
• 通过在收缩球上取平均值及加权和的收敛性，证明群元素作用下测度的提升趋于吸引不动点处的 Dirac 测度。
• 应用相对遍历性理论与相对 SAT 性质，证明投影 $\operatorname{pr}_-, \operatorname{pr}_+ : \partial^2\Gamma \to \partial\Gamma$ 是相对度量遍历的。

实验结果

研究问题

• RQ1 非初等 Gromov-双曲群在边界上关于 Patterson-Sullivan 测度类的作用是否满足相对稳定与弱混合（SAT）性质？
• RQ2 负曲率流形上测地流的遍历性是否可推广至任意合适、$\delta$-双曲、拟凸度量下的双曲群？
• RQ3 通过测地流类比提升后，$\partial^2\Gamma$ 上的作用是否是相对度量遍历的？
• RQ4 增长指数 $\delta_\Gamma$ 在决定群作用于边界上的遍历行为中起什么作用？
• RQ5 所构造的测地流类比的动力学如何与系统的弱混合性及递回性相关？

主要发现

• 群 $\Gamma$ 在 $(\partial\Gamma, [\nu^{\text{PS}}])$ 上的作用是相对度量遍历的，即任何不变函数几乎处处为常数。
• 投影 $\operatorname{pr}_-, \operatorname{pr}_+ : \partial^2\Gamma \to \partial\Gamma$ 是相对稳定与弱混合（SAT）的，意味着在测度类 $[\nu^{\text{PS}} \times \nu^{\text{PS}}]$ 下具有强混合行为。
• 对任意测度为正的可测集 $A \subset \partial^2\Gamma$，存在 $g \in \Gamma$ 及 $\operatorname{pr}_-(A) \cap g(\operatorname{pr}_-(A))$ 的正测度子集 $B$，使得对所有 $\xi \in B$，有 $\nu(g^{-1}A^+_{\xi}) > 1 - \epsilon$，从而确认 SAT 性质。
• 当 $\Omega$ 为一个遍历的保测变换系统时，$X \times \Omega$ 上的诱导流是遍历的，这是由于边界作用的相对度量遍历性。
• 函数 $h$ 在中心为 $x_+$ 的收缩球上平均值的极限趋于零，这意味着 $\gamma_{n,x}^{-1}$ 作用下测度的提升弱收敛于 $x_+$ 处的 Dirac 测度，支持了遍历性结果。
• 所构造的测地流类比确保了 $\Gamma$-作用在 $\partial^2\Gamma$ 上关于乘积测度类 $[\nu^{\text{PS}} \times \nu^{\text{PS}}]$ 是遍历的，将经典结果推广至一般双曲群作用。