[论文解读] Some Ergodic Theorems for Random Rotations on Wiener Space

Ali Süleyman Üstünel, Moshe Zakai|ArXiv.org|Oct 16, 2001

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文利用马利avin微积分与斯科罗霍德积分，建立了维纳空间上随机旋转的强混合性与遍历性的充分条件。证明了若随机酉算子在概率意义下满足相关性消失条件，则其诱导的变换是强混合的，将经典结果推广至非线性、随机情形。

ABSTRACT

In this paper we study ergodicity and mixing property of some measure preserving transformations on the Wiener space (W,H,μ) which are generated by some random unitary operators defined on the Cameron-Martin space H.

研究动机与目标

• 研究由卡梅伦-马汀空间上随机酉算子生成的维纳空间上保测度变换的遍历性与混合性。
• 将确定性旋转的经典遍历性结果推广至随机、非线性情形。
• 通过随机等距算子渐近去相关性的条件来刻画强混合性。
• 以随机旋转算子内积收敛于零的概率为条件，提供强混合性的充分条件。
• 通过自适应过程与混沌表示性质，建立强混合变换的通用例子。

提出的方法

• 利用马利avin微积分框架，特别是斯科罗霍德积分与散度算子，定义并分析维纳空间上的随机旋转。
• 应用卡梅伦-马汀空间上随机酉算子的二次量化，生成保测度变换。
• 运用伊藤-尼西奥定理，将维纳路径表示为卡梅伦-马汀空间正交基系中的级数。
• 引入随机酉算子的单位分解条件，以确保其定义的柱形鞅具有混沌表示性质。
• 基于对所有 h, k ∈ H，内积 (Qₙh, k)ₕ 在概率意义下收敛于零，推导出强混合性的充分条件。
• 利用类似吉林索夫的恒等式与伊藤表示定理，验证特定例子中的混合条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，维纳空间上的随机旋转是强混合的？
• RQ2 当酉算子为随机且非确定性时，如何刻画遍历性？
• RQ3 单位分解的混沌表示性质在确保混合性中起什么作用？
• RQ4 强混合条件能否简化为旋转向量内积的概率收敛条件？
• RQ5 维纳空间上强混合随机旋转的显式例子有哪些？

主要发现

• 序列 (Tₙ) 的随机旋转强混合性的充分条件是：对所有 h, k ∈ H，(Qₙh, k)ₕ 在概率意义下收敛于零。
• 当旋转算子为确定性时，条件 (Qₙh, k)ₕ 在概率意义下收敛于零也是必要的。
• 在示例1中，通过具有单位酉增量的自适应过程 Rₜ 定义的连续时间随机旋转，若两时间点函数 Aₛ,ₜⁿ 的 n 次幂几乎必然收敛于零，则其为强混合的。
• 在示例2中，通过独立布朗运动符号函数定义的离散随机旋转序列，满足 (Qₙh, k)ₕ 在 L² 中收敛，因此该序列是强混合的。
• 本文确立了与单位分解相关的柱形鞅的混沌表示性质，是推导混合条件的关键。
• 结果通过引入由酉算子 R(w) 诱导的随机性，将经典确定性旋转的遍历性结果推广至非线性、非高斯动力系统。