[论文解读] Some evaluation of cubic Euler sums

Ce Xu|arXiv (Cornell University)|May 17, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文提出一种基于Tornheim型级数的新方法，用于计算三重Euler和，证明了如 $ S_{1^2m,m} $ 和 $ S_{1(2l+1)^2,2l+1} $ 这类和可约化为zeta值、二次和一次和。进一步表明，某些四阶多重zeta值可约化为三阶形式，并建立了交错三重和可约化为交错二次和一次和的结果。

ABSTRACT

P. Flajolet and B. Salvy \cite{FS1998} prove the famous theorem that a nonlinear Euler sum $S_{i_1i_2\cdots i_r,q}$ reduces to a combination of sums of lower orders whenever the weight $i_1+i_2+\cdots+i_r+q$ and the order $r$ are of the same parity. In this article, we develop an approach to evaluate the cubic sums $S_{1^2m,p}$ and $S_{1l_1l_2,l_3}$. By using the approach, we establish some relations involving cubic, quadratic and linear Euler sums. Specially, we prove the cubic sums $S_{1^2m,m}$ and $S_{1(2l+1)^2,2l+1}$ are reducible to zeta values, quadratic and linear sums. Moreover, we prove that the two combined sums involving multiple zeta values of depth four \[\sum\limits_{\left\{ {i,j} ight\} \in \left\{ {1,2} ight\},i e j} {ζ\left( {{m_i},{m_j},1,1} ight)}\quad { m and}\quad \sum\limits_{\left\{ {i,j,k} ight\} \in \left\{ {1,2,3} ight\},i e j e k} {ζ\left( {{m_i},{m_j},{m_k},1} ight)} \] can be expressed in terms of multiple zeta values of depth $\leq 3$, here $2\leq m_1,m_2,m_3\in \N$. Finally, we evaluate the alternating cubic Euler sums ${S_{{{\bar 1}^3},2r + 1}}$ and show that it are reducible to alternating quadratic and linear Euler sums. The approach is based on Tornheim type series computations.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，利用Tornheim型级数评估三重Euler和 $ S_{1^2m,p} $ 和 $ S_{1l_1l_2,l_3} $。
• 确定三重Euler和在何种情况下可约化为zeta值、二次和一次Euler和。
• 研究四阶多重zeta值是否可约化为深度≤3的形式。
• 分析交错三重Euler和的结构，并证明其可约化为交错二次和一次和。
• 将Flajolet-Salvy定理关于Euler和可约性的结果推广至三重和及交错情形。

提出的方法

• 以Tornheim型级数计算为核心分析框架，用于评估三重Euler和。
• 应用围道积分表示和留数计算，将和与多重zeta值关联。
• 运用调和数恒等式和多 polylogarithm 函数展开，分解复杂和。
• 以已知的一次和二次和的计算结果作为构建更高阶约化的基础。
• 通过代数恒等变形，将四阶多重zeta值表达为低深度形式。
• 利用已知的交错Euler和及多重zeta值结果，推导出交错三重和的闭式表达。

实验结果

研究问题

• RQ1 三重Euler和 $ S_{1^2m,m} $ 和 $ S_{1(2l+1)^2,2l+1} $ 能否表示为zeta值、二次和一次和的形式？
• RQ2 组合和 $ extstyleigsum_{i eq j}inom{ ext{m}_i, ext{m}_j,1,1}{ ext{m}_i, ext{m}_j,1,1} $ 与 $ extstyleigsum_{i eq j eq k}inom{ ext{m}_i, ext{m}_j, ext{m}_k,1}{ ext{m}_i, ext{m}_j, ext{m}_k,1} $ 是否可约化为深度≤3的多重zeta值？
• RQ3 交错三重Euler和 $ S_{ar{1}^3,2r+1} $ 是否可约化为交错二次和一次Euler和？
• RQ4 四阶多重zeta值的结构是怎样的？能否简化为三阶形式？
• RQ5 Tornheim型级数如何在Flajolet-Salvy框架之外促进非线性Euler和的计算？

主要发现

• 三重和 $ S_{1^2m,m} $ 和 $ S_{1(2l+1)^2,2l+1} $ 可约化为zeta值、二次和一次Euler和。
• 当 $ m_i eq m_j $ 且 $ m_i,m_j eq 1 $ 时，组合和 $ extstyleigsum_{i eq j}inom{ ext{m}_i, ext{m}_j,1,1}{ ext{m}_i, ext{m}_j,1,1} $ 可约化为深度≤3的多重zeta值。
• 当 $ m_i,m_j,m_k eq 1 $ 时，和 $ extstyleigsum_{i eq j eq k}inom{ ext{m}_i, ext{m}_j, ext{m}_k,1}{ ext{m}_i, ext{m}_j, ext{m}_k,1} $ 同样可约化为三阶多重zeta值。
• 交错三重Euler和 $ S_{ar{1}^3,2r+1} $ 可约化为交错二次和一次Euler和。
• 对 $ S_{ar{1}^3,3} $ 的显式计算得到闭式表达，包含 $ ext{Li}_5(1/2) $、$ \ln 2 $ 的幂次、zeta值，以及 $ \zeta^*(\bar{5},\bar{1}) $、$ \zeta^*(4,\bar{2}) $。
• 通过和的分解与已知关系，验证了恒等式 $ \zeta^*(\bar{4},2) + 4\zeta^*(\bar{5},1) = -\frac{1105}{192}\zeta(6) + \frac{3}{4}\zeta^2(3) $。