[论文解读] Some Examples of Blackadar and Kirchberg's MF Algebras

Don Hadwin, Junhao Shen|ArXiv.org|Jun 28, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文通过构造MF代数的极小与极大张量积及有限群或整数群上的半直积，构建了MF代数的新例子。证明了某些张量积和半直积（如 $ C_r^*(F_n) \times_\theta \mathbb{Z} $ 和 $ C_r^*(F_n) \otimes_{\text{max}} C^*(F_m) $）是MF代数，并关键性地表明其BDF扩张半群并非群，从而推广了Haagerup与Thorbjørnsen关于 $ C_r^*(F_n) $ 的奠基性结果。

ABSTRACT

In the paper, we provide some examples of MF algebras by considering minimal or maximal tensor products of MF algebras and crossed products of MF algebras by finite groups or an integer group. We also present some examples of C$^*$-algebras, whose BDF extension semigroup is not group. These examples include, for example, $ C_r^*(F_n)\otimes_{max} C^*(F_n) $, $ C_r^*(F_n)\otimes_{min} C^*(F_n) $, $C_r^*(H_1\ast H_2)$ with $2\le |H_1|

研究动机与目标

• 将已知的C*-代数类中BDF扩张半群非群的范围，从 $ C_r^*(F_n) $ 的奠基性例子进一步拓展。
• 研究MF代数的张量积与半直积是否保持MF性质。
• 提供新的C*-代数例子，使得Voiculescu的拓扑自由熵维数因MF性质而良好定义。
• 确立MF代数关于 $ \mathbb{Z} $ 或有限群的半直积保持为MF代数的条件。
• 在MF代数的背景下，推广Pimsner与Voiculescu的结果。

提出的方法

• 利用MF代数作为嵌入到矩阵代数超乘积中的定义，验证张量积与半直积的MF性质。
• 应用全半直积的普遍性质，构造 $ \mathbb{A} \rtimes_\theta \mathbb{Z} $ 到矩阵超乘积的 $ * $-同态。
• 运用范数逼近技术，证明非交换多项式在生成元中的范数在有限维表示中可被小误差保持。
• 利用存在序列 $ n_j \to \mathbb{N} $ 使得对所有 $ a \in \mathbb{A} $ 有 $ \norm{\alpha(n_j)a - a} \to 0 $，确保作用下的渐近不变性。
• 以 $ C_r^*(F_n) $ 是MF代数（由Haagerup与Thorbjørnsen证明）作为基础情形，构建更复杂的例子。
• 结合张量积与半直积的结果，推导出BDF扩张半群非群的新例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个MF代数的极大张量积在何种条件下仍是MF代数？
• RQ2 两个MF代数的极小张量积在何种条件下是MF代数，特别是当其中一个因子为精确或拟对角代数时？
• RQ3 MF代数关于 $ \mathbb{Z} $ 或有限群的半直积在何种条件下是MF代数？
• RQ4 除 $ C_r^*(F_n) $ 外，哪些C*-代数的BDF扩张半群不是群？
• RQ5 在具有近乎周期行为的酉作用下，MF性质是否在半直积构造中得以保持？

主要发现

• 当 $ \mathcal{B} $ 为单位化可分MF代数且 $ n \geq 2 $ 时，极大张量积 $ C^*(F_n) \otimes_{\text{max}} \mathcal{B} $ 是MF代数。
• 当 $ \mathcal{A} $ 为精确或拟对角代数且 $ \mathcal{B} $ 为单位化可分MF代数时，极小张量积 $ \mathcal{A} \otimes_{\text{min}} \mathcal{B} $ 是MF代数。
• 当 $ \mathcal{A} $ 为有限生成单位化MF代数且 $ \alpha $ 为满足对所有 $ a \in \mathcal{A} $ 有 $ \norm{\alpha(n_j)a - a} \to 0 $ 的序列 $ n_j \to \infty $ 的 $ \mathbb{Z} $-作用时，半直积 $ \mathcal{A} \rtimes_\alpha \mathbb{Z} $ 是MF代数。
• 当 $ n, m \geq 2 $ 时，BDF扩张半群 $ \operatorname{Ext}(C_r^*(F_n) \otimes_{\text{max}} C^*(F_m)) $ 不是群。
• 当 $ n \geq 2 $ 且 $ \mathcal{B} $ 为单位化可分MF代数时，BDF扩张半群 $ \operatorname{Ext}(C_r^*(F_n) \otimes_{\text{min}} \mathcal{B}) $ 不是群。
• 当 $ H = H_1 * H_2 $，且 $ |H_1| \geq 2 $，$ |H_2| \geq 3 $，$ H_1, H_2 $ 为有限群时，BDF扩张半群 $ \operatorname{Ext}(C_r^*(H)) $ 不是群。