[论文解读] Some Formulas for Numbers of Restricted Words

Milan Janjić|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2017

semigroups and automata theory参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文引入了一个广义的组合函数 $ c_m(n,k) $，通过初始算术函数 $ f_0 $ 的迭代逆变换，将整数组合扩展至 $ k $ 个部分。它建立了 $ c_m(n,k) $ 与部分贝尔多项式、帕斯卡矩阵以及有限字母表上的受限词之间的联系。主要贡献是一种递归传递方法，可将大小为 $ N $ 的字母表上的词计数性质提升至 $ N+1 $ 个字母，从而通过 $ c_m(n,k) $ 实现受限词的枚举，并为特定 $ f_0 $（如 $ f_0(1)=1 $ 或 $ f_0(n)=1 $ 对于 $ n>1 $）推导出显式公式。

ABSTRACT

We define a quantity $c_m(n,k)$ as a generalization of the notion of the composition of the positive integer $n$ into $k$ parts. We proceed to derive some known properties of this quantity. In particular, we relate two partial Bell polynomials, in which the sequence of the variables of one polynomial is the invert transform of the sequence of the variables of the other. We connect the quantities $c_m(n,k)$ and $c_{m-1}(n,k)$ via Pascal matrices. We then relate $c_m(n,k)$ with the numbers of some restricted words over a finite alphabet. We develop a method which transfers some properties of restricted words over an alphabet of $N$ letters to the restricted words over an alphabet of $N+1$ letters. Several examples illustrate our findings. Note that all our results depend solely on the initial arithmetic function $f_0$.

研究动机与目标

• 开发一个广义的组合函数 $ c_m(n,k) $，通过初始算术函数 $ f_0 $ 的迭代逆变换，扩展标准整数组合。
• 建立 $ c_m(n,k) $ 与部分贝尔多项式之间的联系，表明 $ c_m(n,k) $ 源于由 $ f_{m-1} $ 导出的变量的加权组合。
• 通过下三角帕斯卡矩阵推导出基于矩阵的递推关系，关联 $ c_m(n,k) $ 与 $ c_{m-1}(n,k) $，实现递归计算。
• 提出一种通用方法，基于 $ f_0 $ 的结构，将大小为 $ N $ 的字母表上受限词的性质系统性地扩展至 $ N+1 $ 个字母。
• 为特定 $ f_0 $（如 $ f_0(1)=1 $ 或 $ f_0(n)=1 $ 对于 $ n>1 $）提供显式的组合解释和闭式公式，将其与二进制和三进制词计数联系起来。

提出的方法

• 函数 $ c_m(n,k) $ 通过递归关系定义为 $ c_m(n,k) = \sum_{i=1}^{n-k+1} f_{m-1}(i) c_m(n-i,k-1) $，初始条件为 $ c_m(0,0)=1 $，$ c_m(n,0)=0 $（当 $ n>0 $ 时），推广了标准组合。
• 证明 $ c_m(n,k) = \frac{k!}{n!} B_{n,k}(1!f_{m-1}(1), 2!f_{m-1}(2), \ldots) $，将其与部分贝尔多项式及加权整数组合联系起来。
• 利用序列之间的逆变换关系，关联 $ c_m(n,k) $ 与 $ c_{m-1}(n,k) $，表明该变换对应于下三角帕斯卡矩阵的乘法。
• 通过方程 (9) 推导出传递公式，将 $ c_m(n,k) $ 表示为关于 $ t $ 的和：$ c_m(n,k) = \sum_{t=0}^{n-k} {k+t-1 \choose t} c_{m-1}(n,k+t) $，实现从 $ m-1 $ 到 $ m $ 的递归提升。
• 将该方法应用于特定 $ f_0 $：当 $ f_0(1)=1 $ 时，$ c_1(n,k) $ 计数部分 $ \geq 2 $ 的组合，而 $ c_m(n,k) $ 计数字母表 $ \{0,1,\ldots,m\} $ 上具有孤立非零字母的受限词。
• 利用组合双射和二项式恒等式，推导出闭式表达式，如在 $ f_0(n)=1 $ 对于 $ n>1 $ 时，$ c_m(n,k) = \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor - k} (m-1)^j {j+k-1 \choose k-1} {n-k-j-1 \choose k+j-1} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过迭代逆变换，将标准整数组合为 $ k $ 个部分的概念广义化，以纳入加权或受限组合？
• RQ2 $ c_m(n,k) $ 与部分贝尔多项式之间有何关系？该联系如何揭示加权组合的组合结构？
• RQ3 如何利用 $ c_m(n,k) $ 的结构，系统性地将大小为 $ N $ 的字母表上受限词的性质扩展至 $ N+1 $ 个字母？
• RQ4 当初始函数 $ f_0 $ 被指定时（如 $ f_0(1)=1 $ 或 $ f_0(n)=1 $ 对于 $ n>1 $），可以为 $ c_m(n,k) $ 推导出哪些显式公式？
• RQ5 帕斯卡矩阵和二项式恒等式如何促进 $ c_m(n,k) $ 在不同 $ m $ 和 $ k $ 下的递归计算与结构分析？

主要发现

• 函数 $ c_m(n,k) $ 满足 $ c_m(n,n) = f_{m-1}(1)^n $，表明对角线元素仅依赖于第 $ (m-1) $ 个逆变换的第一项值。
• 方程 (4) 表明 $ c_m(n,k) = \frac{k!}{n!} B_{n,k}(1!f_{m-1}(1), 2!f_{m-1}(2), \ldots) $，证明 $ c_m(n,k) $ 是变量 $ i!f_{m-1}(i) $ 的归一化部分贝尔多项式。
• 方程 (5) 表明 $ c_m(n,k) = \sum_{i_1+\cdots+i_k=n} f_{m-1}(i_1)\cdots f_{m-1}(i_k) $，即 $ c_m(n,k) $ 计数将 $ n $ 组合为 $ k $ 个正整数部分的加权组合，权重为 $ f_{m-1}(i) $。
• 当 $ f_0(1)=1 $ 时，本文推导出 $ c_m(n,k) = \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor - k} (m-1)^j {j+k-1 \choose k-1} {n-k-j-1 \choose k+j-1} $，为具有孤立非零字母的受限词提供了闭式表达。
• 推论 29 表明，当 $ f_0(n)=1 $ 对于 $ n>1 $ 时，$ c_m(n,k) $ 计数长度为 $ n-3 $ 的词，其字母表为 $ \{0,1,\ldots,m\} $，包含 $ k-1 $ 个孤立的 1，且无两个连续的非零字母。
• 推论 31 给出 $ c_m(n,k) = \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (m-1)^j {j+k-1 \choose k-1} {k+j \choose n-2k-2j} $，当 $ f_0(2)=f_0(3)=1 $，其余 $ f_0(n)=0 $ 时，该公式计数具有孤立非零字母且零连续段长度不超过 2 的词。