[论文解读] Some generalizations and unifications of $C_{K}(X)$, $C_{\psi}(X)$ and $C_{\infty}(X)$

Ali Taherifar|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2012

Rings, Modules, and Algebras参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文通过引入完全正则 Hausdorff 空间 $X$ 上的开滤子基 $P$ 的 $C_P(X)$ 和 $C^rown_P(X)$，推广并统一了环 $C_K(X)$、$C_\psi(X)$ 和 $C_\infty(X)$。文章建立了 $C^\frown_P(X)$ 为理想、z-理想或正则环的条件，并通过与 $P$ 相关的滤子 $F$ 的拓扑性质刻画了本质理想和自由理想。主要贡献在于构建了一个统一框架，将环论性质与滤子及拓扑结构联系起来。

ABSTRACT

Let $\cal{P}$ be an open filter base for a filter $\cal{F}$ on $X$. We denote by $C^{\cal{P}}(X)$ ($C_{\infty\cal{P}}(X)$) the set of all functions $f\in C(X)$ where $Z(f)$ ($\{x: |f(x)|< \frac{1}{n}\})$ contains an element of $\cal{P}$. First, we observe that every proper subrings in the sense of Acharyya and Ghosh (Topology Proc. 2010) has such form and vice versa. After wards, we generalize some well known theorems about $C_{K}(X), C_{\psi}(X)$ and $C_{\infty}(X)$ for $C^{\cal{P}}(X)$ and $C_{\infty\cal{P}}(X)$. We observe that $C_{\infty\cal{P}}(X)$ may not be an ideal of $C(X)$. It is shown that $C_{\infty\cal{P}}(X)$ is an ideal of $C(X)$ and for each $F\in\cal{F}$, $X\setminus \overline{F}$ is bounded \ifif the set of non-cluster points of the filter $\cal{F}$ is bounded. By this result, we investigate topological spaces for which $C_{\infty\cal{P}}(X)$ is an ideal of $C(X)$ whenever $\cal{P}$=$\{A\subsetneq X$: $A$ is open and $X\setminus A$ is bounded $\}$ (resp., $\cal{P}$=$\{A\subsetneq X$: $X\setminus A$ is finite $\}$). Moreover, we prove that $C^{\cal{P}}(X)$ is an essential (resp., free) ideal \ifif the set $\{V:$ $V$ is open and $X\setminus V\in\mathcal{F}\}$ is a $\pi$-base for $X$ (resp., $\mathcal{F}$ has no cluster point). Finally, the filter $\cal{F}$ for which $C_{\infty\cal{P}}(X)$ is a regular ring (resp., $z$-ideal) is characterized.

研究动机与目标

• 通过滤子基推广并统一 $C_K(X)$、$C_\psi(X)$ 和 $C_\infty(X)$。
• 根据滤子 $F$ 的非聚点的有界性，刻画 $C^\frown_P(X)$ 作为 $C(X)$ 的理想时的条件。
• 利用滤子 $F$ 的拓扑性质，确定 $C_P(X)$ 和 $C^\frown_P(X)$ 为本质、自由或 z-理想时的条件。
• 刻画 $C^\frown_P(X)$ 为 von Neumann 正则环的条件。

提出的方法

• 定义 $C_P(X)$ 为满足 $Z(f)$ 包含开滤子基 $P$ 中某元素的所有 $f \in C(X)$ 的集合。
• 定义 $C^\frown_P(X)$ 为满足对每个 $n \in \mathbb{N}$，集合 $\{x : |f(x)| < 1/n\}$ 包含 $P$ 中某元素的所有 $f \in C(X)$ 的集合。
• 利用由 $P$ 生成的关联滤子 $F$，将环论性质与 $X$ 的拓扑性质联系起来。
• 引入 $F$-CG$\delta$ 集的概念：即满足 $X \setminus A_i$ 与 $A_{i+1}$ 完全分离且 $A_i \in F$ 的可数个开集 $A_i$ 的交集。
• 证明 $C_P(X)$ 是一个 z-理想，且 $C^\frown_P(X)$ 是 $C(X)$ 的真子环。
• 利用 $\pi$-基与聚点的性质，刻画 $C^\frown_P(X)$ 的本质理想与正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下 $C^\frown_P(X)$ 是 $C(X)$ 的理想？
• RQ2 在什么条件下 $C_P(X)$ 是本质理想，这与补集属于 $F$ 的开集的 $\pi$-基有何关系？
• RQ3 在什么条件下 $C^\frown_P(X)$ 是 z-理想，且 $F$-CG$\delta$ 集的何种拓扑条件可保证此性质？
• RQ4 在什么条件下 $C^\frown_P(X)$ 是正则环，且这如何依赖于闭 $F$-CG$\delta$ 集的开性及其是否属于 $F$？
• RQ5 $C_P(X)$ 和 $C^\frown_P(X)$ 的性质如何与滤子 $F$ 中聚点的存在性相关？

主要发现

• 当且仅当滤子 $F$ 的非聚点集有界时，集合 $C^\frown_P(X)$ 是 $C(X)$ 的理想。
• 当且仅当 $F$ 的非聚点集有界时，$C^\frown_P(X)$ 是 $C(X)$ 的理想，且对所有 $F \in F$，有 $X \setminus F$ 有界。
• 当且仅当族 $\{V : V \text{ 为开集}, X \setminus V \in F\}$ 构成 $X$ 的 $\pi$-基时，环 $C_P(X)$ 是本质理想。
• 当且仅当滤子 $F$ 无聚点时，环 $C_P(X)$ 是自由理想。
• 当且仅当每个包含闭 $F$-CG$\delta$ 集的余零集都属于 $F$ 时，环 $C^\frown_P(X)$ 是 z-理想。
• 当且仅当每个闭 $F$-CG$\delta$ 集既是开集又属于 $F$ 时，环 $C^\frown_P(X)$ 是正则环。