[论文解读] Some heuristics on the gaps between consecutive primes

Marek Wolf|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 42被引用 12

一句话总结

本文提出了用于连续素数之间间隔分布的启发式公式，直接以素数计数函数 $\pi(x)$ 表示间隔为 $d$ 的连续素数对的数量。该研究推导了关于最大间隔、间隔首次出现以及广义 Brun 常数的猜想，其数值支持范围达 $2^{48}$，并提出当 $n \to \infty$ 时 $\sqrt{p_{n+1}} - \sqrt{p_n} \to 0$。其主要贡献在于提出了一套新颖的启发式框架，将 $\pi(x)$ 与间隔统计联系起来，为素数间隔行为提供了可检验的预测。

ABSTRACT

We propose the formula for the number of pairs of consecutive primes $p_n, p_{n+1}

研究动机与目标

• 开发一种启发式公式，用于表示小于 $x$ 的连续素数对中间隔为 $d$ 的数量，并直接以 $\pi(x)$ 表示。
• 研究小于 $x$ 的连续素数之间最大间隔 $G(x)$ 的分布及其与 $\pi(x)$ 的关系。
• 基于素数间隔的渐近行为，提出关于间隔 $d$ 首次出现的猜想。
• 通过启发式推理，推导出导致 $\log \log x$ 项的素数调和和的新表达式。
• 通过数值数据和启发式模型检验 Andrica 猜想的有效性。

提出的方法

• 使用 $\pi(x)$ 作为唯一输入，推导出 $\tau_d(x)$（即小于 $x$ 的间隔为 $d$ 的连续素数对数量）的启发式公式。
• 以 Hardy–Littlewood 猜想 B 为基础，对其加以修改，使其适用于连续素数对而非任意素数对。
• 基于渐近形式 $p_f(d) \sim \sqrt{d} \, e^{\sqrt{d}}$，提出关于间隔 $d$ 首次出现 $p_f(d)$ 的猜想。
• 通过渐近展开建模 $\sqrt{p_{n+1}} - \sqrt{p_n}$，得出极限 $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{p_{n+1}} - \sqrt{p_n}) = 0$。
• 利用收集至 $x = 2^{48} \approx 2.81 \times 10^{14}$ 的数据，对猜想进行数值验证。
• 使用函数 $R(x) = \sqrt{p_{f}(x)+x} - \sqrt{p_{f}(x)}$ 分析首次出现间隔的行为，并推导出指数衰减估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否直接用 $\pi(x)$ 表示小于 $x$ 的连续素数对中间隔为 $d$ 的数量？
• RQ2 小于 $x$ 的连续素数之间最大间隔 $G(x)$ 的渐近行为是什么？其与 $\pi(x)$ 的关系如何？
• RQ3 间隔 $d$ 的首次出现是什么？其大小如何随 $d$ 变化？
• RQ4 当 $n \to \infty$ 时，差值 $\sqrt{p_{n+1}} - \sqrt{p_n}$ 是否趋于零？其衰减速率如何？
• RQ5 启发式模型对素数调和和的预测是否与已知的 $\log \log x$ 增长一致？

主要发现

• 小于 $x$ 的间隔为 $d$ 的连续素数对数量被猜想满足 $\tau_d(x) \sim C_2 \cdot \mathfrak{S}(d) \cdot \frac{x}{\log^2 x}$，其中 $\mathfrak{S}(d)$ 反映了 $d$ 的算术结构。
• 小于 $x$ 的连续素数之间最大间隔 $G(x)$ 被猜想满足 $G(x) \sim \log^2 x$，与数值数据在 $2^{48}$ 范围内一致。
• 间隔 $d$ 的首次出现被猜想满足 $p_f(d) \sim \sqrt{d} \, e^{\sqrt{d}}$，从而推出 $\sqrt{p_f(d)+d} - \sqrt{p_f(d)} \sim \frac{1}{2} d^{3/4} e^{-\frac{1}{2}\sqrt{d}}$。
• $\sqrt{p_{n+1}} - \sqrt{p_n}$ 被证明当 $n \to \infty$ 时趋于零，其衰减速率由 $\sqrt{d}$ 的指数项决定。
• 启发式模型重现了素数调和和中的主导 $\log \log x$ 项，支持了 $\sum_{p \leq x} \frac{1}{\sqrt{p}} \sim \log \log x$ 的猜想。
• 公式 $R(x) = \sqrt{p_f(x)+x} - \sqrt{p_f(x)}$ 被发现随 $\sqrt{x}$ 呈指数衰减，且模型与图 12 中的数值数据相符。