[论文解读] Some intersection numbers of divisors on toroidal compactifications of A_g

Cord Erdenberger, Samuel Grushevsky+1 more|ArXiv.org|Jul 9, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文计算了主极化阿贝尔簇模空间的完美锥型塔罗伊达紧化 $ackslash mathcalackslash A_g^ackslashackslash mathrmackslash{Perf}$ 上霍奇线丛 $L$ 与边界除子 $D$ 的最高阶交数。通过部分紧化上的交集理论与生成函数，证明了除 $L^G$、$L^{G-g}D^g$ 与 $L^{G-2g+1}D^{2g-1}$ 外所有此类交数均为零，其中后一者通过三项 (I)、(II) 与 (III) 显式计算得出。

ABSTRACT

We study the top intersection numbers of the boundary and Hodge class divisors on toroidal compactifications of the moduli space $A_g$ of principally polarized abelian varieties and compute those numbers that live away from the stratum which lies over the closure of $A_{g-3}$ in the Satake compactification.

研究动机与目标

• 计算完美锥紧化 $ackslash mathcalackslash A_g^ackslashackslash mathrmackslash{Perf}$ 上除子的最高阶交数 $\langle L^{G-N}D^N \rangle_{\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}}$，其中 $G = \frac{g(g+1)}{2}$ 为维度。
• 确定在 $N < 3g - 3$ 范围内哪些交数非零，特别关注由霍奇丛 $L$ 与边界除子 $D$ 生成的皮卡德群结构。
• 通过计算此前未知的交数 $a_{2g-1}^{(g)} = \langle L^{(g-2)(g-1)/2} D^{2g-1} \rangle_{\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}}$，将低亏格情形 ($g \leq 4$) 的已知结果推广至更高亏格。
• 通过证明该零化模式在除 $\mathcal{A}_{g-3}$ 闭包之外的层上成立，为其他塔罗伊达紧化提供适用框架。

提出的方法

• 在部分紧化 $ackslash mathcalackslash A_g^ackslashackslash mathrmackslash{Perf} \setminus \beta_3$ 上使用交集理论，其中 $\beta_3$ 对应该于萨塔克紧化中 $\mathcal{A}_{g-3}$ 的层。
• 应用生成函数与幂级数展开，特别是涉及 $\frac{2x}{1 - e^{-2x}}$ 与 $\frac{e^x - 1}{x}$ 的表达式，以计算与交数相关的系数。
• 将交数 $a_{2g-1}^{(g)}$ 分解为三部分：(I)、(II) 与 (III)，每部分分别通过定理（定理 9.5、8.3、7.5）计算，其中 (I) 表示为低亏格不变量的组合。
• 使用赫兹布吕赫-穆尔福德比例性计算霍奇丛自交数 $L^G$，并借鉴范德吉尔的方法处理 $D^g$ 情形。
• 依赖于塔罗伊达紧化中可接受扇形与相容性条件的结构，尤其在 $g \leq 3$ 时所有塔罗伊达紧化均一致。
• 通过符号计算（Maple）对 $g = 2$ 至 $7$ 进行数值验证，结果与此前工作一致（$g \leq 4$），并为 $g > 4$ 提供新数值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $N < 3g - 3$ 条件下，哪些交数 $\langle L^{G-N}D^N \rangle_{\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}}$ 非零？
• RQ2 此前未知的交数 $a_{2g-1}^{(g)} = \langle L^{(g-2)(g-1)/2} D^{2g-1} \rangle_{\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}}$ 的显式公式为何？
• RQ3 该交数的零化模式能否推广至其他 $ackslash mathcalackslash A_g$ 的塔罗伊达紧化？
• RQ4 交数如何与部分紧化的几何结构及皮卡德群结构相关联？
• RQ5 在 $ackslash mathcalackslash A_g^ackslashackslash mathrmackslash{Perf}$ 上的交数是否可推广至其他塔罗伊达模型，如 Voronoi 或 Igusa 紧化？

主要发现

• 在 $N < 3g - 3$ 条件下，仅当 $N = 0$、$N = g$ 与 $N = 2g - 1$ 时交数非零，其余全部为零。
• 最高阶自交数 $\langle L^G \rangle_{\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}} = (-1)^G 2^{-g} G! \prod_{k=1}^g \frac{\zeta(1-2k)}{(2k-1)!!}$，通过赫兹布吕赫-穆尔福德比例性计算得出。
• 第二个非零交数为 $\langle L^{G-g} D^g \rangle_{\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}} = \frac{1}{2}(-1)^{G-1} (g-1)! (G-g)! \prod_{k=1}^{g-1} \frac{\zeta(1-2k)}{(2k-1)!!}$，由范德吉尔方法推导得出。
• 第三个非零交数 $\langle L^{G-2g+1} D^{2g-1} \rangle_{\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}} = (I) + (II) + (III)$ 被显式计算，其中 (I) 表示为低亏格不变量与生成函数的组合。
• 对 $g = 2$ 至 $7$ 的数值结果已计算并列成表格，其值分别为 $a_{2g-1}^{(g)} = -11/12, -203/240, -1759/3360, -59123/45360, -976649/13860, -49254708341/2332800$。
• 结果与猜想一致：$a_N^{(g)} = 0$ 除非 $G - N = \dim \mathcal{A}_k = k(k+1)/2$ 对某个 $k \leq g$ 成立，表明交集环中存在深层结构性规律。