[论文解读] Some local properties of subsolutons and supersolutions for a doubly nonlinear nonlocal parabolic $p$-Laplace equation

Agnid Banerjee, Prashanta Garain+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文建立了当 $p>2$ 时，双重非线性非局部抛物 $p$-拉普拉斯方程的弱次解的局部有界性，以及正弱上解的反向霍尔德不等式。通过能量估计与抛物型非局部德乔治方法，作者证明了局部有界性、利用新代数不等式得到的反向霍尔德不等式，以及对数衰减估计，为未来在非局部双重非线性设定下的弱哈纳克不等式研究奠定了基础。

ABSTRACT

We establish a local boundedness estimate for weak subsolutions to a doubly nonlinear parabolic fractional $p$-Laplace equation. Our argument relies on energy estimates and a parabolic nonlocal version of De Giorgi's method. Furthermore, by means of a new algebraic inequality, we show that positive weak supersolutions satisfy a reverse Hölder inequality. Finally, we also prove a logarithmic decay estimate for positive supersolutions.

研究动机与目标

• 发展双重非线性非局部抛物 $p$-拉普拉斯方程的正则性理论，该领域在文献中尚未被探索。
• 为方程 $\partial_t(u^{p-1}) + \mathcal{L}u = 0$ 的弱次解建立局部有界性估计，其中 $p>2$。
• 通过一种新颖的代数不等式，证明正弱上解在非局部、双重非线性设定下的反向霍尔德不等式。
• 通过能量与迭代技术，为正上解推导出对数衰减估计，为未来可能的弱哈纳克不等式结果提供支持。
• 将经典的德乔治型方法推广至非局部、双重非线性抛物设定。

提出的方法

• 使用能量估计控制次解在局部区域内的增长。
• 应用抛物型非局部德乔治方法证明弱次解的局部有界性。
• 引入一个新的代数不等式（引理 2.9），该不等式将费尔斯inger与卡斯曼针对 $p=2$ 的结果推广至 $p>2$ 的情形。
• 利用新不等式建立正弱上解的反向霍尔德不等式。
• 通过能量估计与迭代技术，为正上解推导出对数衰减估计。
• 在分数阶索博列夫空间 $W^{s,p}$（其中 $0<s<1$）的框架内进行分析，使用满足霍尔德型有界性的对称核 $K(x,y,t)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 $p>2$ 的双重非线性非局部抛物 $p$-拉普拉斯方程的弱次解建立局部有界性？
• RQ2 正弱上解在非局部、双重非线性设定下是否满足反向霍尔德不等式？
• RQ3 能否为该非局部方程的正上解证明对数衰减估计？
• RQ4 是否存在适用于双重非线性抛物方程的非局部德乔治方法类比？
• RQ5 新代数不等式在将正则性结果从 $p=2$ 情况推广至 $p>2$ 的过程中起什么作用？

主要发现

• 通过能量估计与非局部抛物德乔治方法，为弱次解建立了局部有界性估计。
• 通过一种新代数不等式，证明了正弱上解的反向霍尔德不等式，该不等式推广了 $p=2$ 的情形。
• 为正上解推导出对数衰减估计，表明其在时空区域中呈现缓慢衰减行为。
• 新代数不等式（引理 2.9）在证明反向霍尔德性质中起关键作用，且对 $p>2$ 成立，扩展了 $p=2$ 时的已有结果。
• 本研究结果为未来探索非局部双重非线性设定下的弱哈纳克不等式提供了基础工具，该问题目前仍为开放问题。
• 分析在满足 $\Lambda^{-1}|x-y|^{-(n+ps)} \leq K(x,y,t) \leq \Lambda|x-y|^{-(n+ps)}$ 的分数阶 $p$-拉普拉斯算子与对称核的框架内进行。