[论文解读] Some NP-complete edge packing and partitioning problems in planar graphs

Jed Yang|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文证明了涉及生成树与环或路径的三种边打包与划分问题，在限制为平面图时依然保持 NP-完全。通过从平面 3SAT 问题约化，作者建立了以下问题的 NP-完全性：(1) 打包一个生成树与一个无共享边的环；(2) 打包一个生成树与一个 s–t 路径；(3) 将边划分为一个生成树与一个一般树——解决了 Bernáth 与 Király 未解决的开放问题。

ABSTRACT

Graph packing and partitioning problems have been studied in many contexts, including from the algorithmic complexity perspective. Consider the packing problem of determining whether a graph contains a spanning tree and a cycle that do not share edges. Bernáth and Király proved that this decision problem is NP-complete and asked if the same result holds when restricting to planar graphs. Similarly, they showed that the packing problem with a spanning tree and a path between two distinguished vertices is NP-complete. They also established the NP-completeness of the partitioning problem of determining whether the edge set of a graph can be partitioned into a spanning tree and a (not-necessarily spanning) tree. We prove that all three problems remain NP-complete even when restricted to planar graphs.

研究动机与目标

• 为解决平面图中边打包与划分问题计算复杂性的开放问题。
• 确定涉及生成树、环与路径的问题的 NP-完全性是否在平面图限制下依然成立。
• 解决 Bernáth 与 Király 关于图打包与划分工作的三个剩余开放案例。

提出的方法

• 从已知的 NP-完全问题平面 3SAT 约化，构造出边不相交或划分的子图对应满足赋值的平面图。
• 设计专用图构件，通过受控度数的顶点与边结构编码布尔变量、子句与逻辑约束。
• 构建辅助顶点与边（例如 σ, τ, ω），以在生成树与环/路径子图中强制连通性与边不相交性。
• 使用非分离环与非分离路径作为边不相交生成树与环/路径打包的等价表述。
• 通过边交换与环移除技术修改初始树与环子图，实现有效划分，同时保持连通性与无环性。
• 应用平面对偶性，将非分离环与无环割集关联，强化相关划分问题的 NP-完全性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平面图中，打包一个生成树与一个无共享边的环的问题是否为 NP-完全？
• RQ2 在限制为平面图时，打包一个生成树与一个 s–t 路径的问题的 NP-完全性是否依然成立？
• RQ3 能否将平面图的边集划分为一个生成树与一个一般树？该问题是否为 NP-完全？
• RQ4 这些问题的 NP-完全性结果在更严格的度数约束下（如最大度数为 3 或 4）是否依然成立？
• RQ5 此前声称可在多项式时间内找到平面图中非分离环的算法是否正确？是否存在其失效的特定实例？

主要发现

• 即使限制为平面图，打包一个生成树与一个无共享边的环的问题仍为 NP-完全。
• 在平面图中，打包一个生成树与一个 s–t 路径的问题为 NP-完全，解决了 Bernáth 与 Király 提出的开放问题。
• 将图的边集划分为一个生成树与一个一般树的边划分问题在平面图中为 NP-完全。
• 本文指出了此前声称可在多项式时间内找到平面图中非分离环的算法中的缺陷，并提供了该算法失效的反例。
• 由于非分离环与无环割集在平面对偶性下的对应关系，结果表明平面图中无环割集的存在性问题也为 NP-完全。
• 约化基于平面 3SAT，构造的图最大度数为 4，暗示未来可进一步降低度数至立方图。