[论文解读] Some properties of h-MN-convexity and Jensen's type inequalities

Mohammad W. Alomari|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2017

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文通过将 $h$-凸性与均值型不等式统一，引入了全新的 $h$-MN-凸函数类别，推广了经典凸性及现有的 $h$-凸类。该文建立了九种不同的 $h$-MN-凸性类型，给出了其刻画，并在 $h$ 的不同条件下（包括次乘性和超乘性）证明了新的 Jensen 型不等式及其逆不等式。

ABSTRACT

In this work, we introduce the class of $h$-${ m{MN}}$-convex functions by generalizing the concept of ${ m{MN}}$-convexity and combining it with $h$-convexity. Namely, Let $I,J$ be two intervals subset of $\left(0,\infty ight)$ such that $\left(0,1 ight)\subseteq J$ and $\left[a,b ight]\subseteq I$. Consider a non-negative function $h: (0,\infty) o \left(0,\infty ight)$ and let ${ m{M}}:\left[0,1 ight] o \left[a,b ight] $ $(0

研究动机与目标

• 通过将 $h$-凸性与均值函数（M 和 N）结合，定义一种新的 $h$-MN-凸函数类别，以推广经典凸性。
• 基于不同的均值函数（算术、几何、调和），探索九种不同类型的 $h$-MN-凸函数的解析性质与刻画。
• 在权重函数 $h$ 的特定条件下，建立 $h$-MN-凸函数的新 Jensen 型不等式及其逆不等式。
• 在 $h$-MN-凸框架下，统一并扩展现有的类，如 $s$-凸、Godunova-Levin 和 $P$-函数。
• 为涉及加权均值与 $h$-函数的不等式提供系统性框架，并应用于乘积形式与调和均值形式。

提出的方法

• 通过不等式 $ f(M(t;x,y)) \leq N(h(t); f(x), f(y)) $ 定义 $h$-MN-凸性，其中 $M$ 和 $N$ 为均值函数，$h$ 为 $(0,\infty)$ 上的非负函数。
• 构造三种基本均值函数：$A_h(a,b) = h(1-t)a + h(t)b$，$G_h(a,b) = a^{h(1-t)}b^{h(t)}$，以及 $H_h(a,b) = \frac{ab}{h(t)a + h(1-t)b}$，形成 $M$ 与 $N$ 的九种组合。
• 利用 $h$-弦概念对 $h$-凸性进行几何解释，将标准弦推广为 $L(t;h)$，当 $h(t)=t$ 时可恢复经典弦。
• 通过基于均值的插值与函数不等式分析 $f$ 在内点的行为，推导 $h$-MN-凸性的刻画。
• 利用有限序列与权重函数 $w_k/W_n$，证明 $h$-MN-凸函数的加权 Jensen 型不等式，结果依赖于 $h$ 的次乘性或超乘性。
• 建立 $h$-MN-凹函数的反向不等式，并分析 $h(t) = t$，$h(t) = 1$，$h(t) = 1/t$，以及 $h(t) = t^s$ 的情形，以恢复已知的凸性类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过引入均值函数 $M$ 与 $N$，将 $h$-凸性推广，形成统一的 $h$-MN-凸函数类别？
• RQ2 通过将算术、几何与调和均值与 $h$-权重结合，可形成哪九种不同的 $h$-MN-凸性类型？
• RQ3 每种 $h$-MN-凸函数类型由哪些刻画与结构性质定义？
• RQ4 对于 $h$-MN-凸函数，会涌现出哪些新的 Jensen 型不等式？它们如何依赖于 $h$ 的乘法行为？
• RQ5 已知的凸性类（如 $s$-凸、Godunova-Levin、$P$-函数）在何种方式下可作为 $h$-MN-凸性的特例出现？

主要发现

• 通过将三种均值函数（$A_h$、$G_h$、$H_h$）与 $h$-权重结合，建立了九种不同的 $h$-MN-凸函数类别，每类均有独特的刻画。
• 对于 $h$-MN-凸函数，对所有 $x,y \in I$ 与 $t \in [0,1]$，不等式 $ f(M(t;x,y)) \leq N(h(t); f(x), f(y)) $ 成立，推广了经典凸性。
• 当 $h$ 为次乘性且 $f$ 为 $H_tG_h$-凸时，成立乘积不等式 $ \prod_{k=1}^n [f(x_k)]^{h(w_k/W_n)} \leq \prod_{k=1}^n \left\{ f(m)^{h(\cdot)} f(M)^{h(\cdot)} \right\} $。
• 对于 $h$-MN-凸函数，若 $h$ 为次乘性且 $f$ 为正的 $H_tH_h$-凸函数，则导出调和型不等式 $ \left(\sum \frac{h(w_k/W_n)}{f(x_k)} \right)^{-1} \leq \left(\sum \frac{h(\cdot) f(m) + h(\cdot) f(M)}{f(m)f(M)} h(w_k/W_n) \right)^{-1} $。
• 结果可恢复已知类：$h(t)=t$ 对应经典凸性，$h(t)=1$ 对应 $P$-函数，$h(t)=1/t$ 对应 Godunova-Levin，$h(t)=t^s$ 对应 $s$-凸性。
• 该框架可将 Varošanec（2007）的定理 22 与推论 23 扩展至 $h$-MN-凸设置，在凹性假设下获得反向不等式。