[论文解读] Some properties of the rate function of quenched large deviations for random walk in random environment

Alexis Devulder|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2005

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文证明了在一维随机环境中随机游走的淬火大偏差率函数在零处具有无穷大的二阶导数，证实了Greven与den Hollander的猜想。通过击中时间分析与渐近估计，进一步证明了在漂移布朗运动势场中的Brox型扩散的率函数严格小于具有相同速度的布朗运动的率函数，为RWRE问题提供了连续类比。

ABSTRACT

In this paper, we are interested in some questions of Greven and den Hollander about the rate function $I\_η^q$ of quenched large deviations for random walk in random environment. By studying the hitting times of RWRE, we prove that in the recurrent case, $\lim\_{θ o 0^+}(I\_η^q)''(θ)=+\infty$, which gives an affirmative answer to a conjecture of Greven and den Hollander. We also establish a comparison result between the rate function of quenched large deviations for a diffusion in a drifted Brownian potential, and the rate function for a drifted Brownian motion with the same speed.

研究动机与目标

• 解决Greven与den Hollander提出的开放问题2，即关于在随机环境中常返随机游走的淬火大偏差率函数在零附近的性质。
• 通过分析击中时间的渐近行为，建立率函数的性质。
• 研究具有正速度的RWRE的淬火率函数是否严格小于具有相同速度的简单随机游走的率函数，以验证Greven与den Hollander的猜想。
• 通过比较Brox型扩散与具有相同速度的布朗运动的率函数，提供一个连续类比。

提出的方法

• 利用矩生成函数估计分析随机环境中随机游走的击中时间τ₁。
• 推导当r → 0⁺时E[τ₁^α e^{-rτ₁}]的渐近行为，表明其呈现指数为α的多项式增长。
• 应用大偏差理论于淬火测度Pω，以建立率函数Iηq的存在性与凸性。
• 利用Brox扩散与RWRE之间的标度极限及随机微分方程关系。
• 采用修正贝塞尔函数与渐近展开分析扩散过程的矩生成函数Γκ(λ)。
• 通过微分方程与级数展开，比较扩散过程的矩生成函数与具有相同速度的布朗运动的矩生成函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于常返RWRE的淬火率函数Iηq，是否满足(Iηq)''(θ) → +∞当θ → 0⁺？
• RQ2 能否证明具有漂移的Brox型扩散的率函数严格小于具有相同速度的布朗运动的率函数？
• RQ3 是否存在一个连续类比，使得淬火RWRE率函数小于具有相同速度的简单随机游走率函数的猜想成立？
• RQ4 在常返RWRE情形下，击中时间的矩生成函数的精确渐近行为是什么？

主要发现

• 淬火率函数Iηq的二阶导数在θ → 0⁺时发散至无穷大，证实了Greven与den Hollander的猜想。
• 对任意α > 0，击中时间τ₁的矩生成函数满足E[τ₁^α e^{-rτ₁}] = (1/r)^{α + o(1)}当r → 0⁺。
• Brox扩散的矩生成函数Γκ(λ)满足对所有λ > 0有Γκ(λ) < φvκ(λ)，其中φvκ为具有速度vκ的布朗运动的矩生成函数。
• 扩散过程的率函数Jκ(x)满足对所有x > vκ有Jκ(x) < (1/2)(x - vκ)^2，证明了其对布朗运动率函数的严格主导性。
• Γκ(λ)的渐近展开式为Γκ(λ) = √(2λ) - (1/4)(κ - 1/2) + O(1/√λ)当λ → ∞。
• 该比较结果对所有κ ≥ 0成立，且仅在κ = 1/2时取等号，此时扩散退化为带漂移的布朗运动。