[论文解读] Some properties of the theory of n-categories

Carlos Simpson|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文提出了一组10个同伦与范畴论性质，用于刻画$ n $-范畴理论的Dwyer-Kan局部化，基于单纯范畴与Segal空间。它展示了这些性质如何蕴含映射对象之间明确定义的复合法则，从而提供一个框架，通过其局部化同伦范畴的等价性来比较不同$ n $-范畴定义。

ABSTRACT

Let $L_n$ denote the Dwyer-Kan localization of the category of weak n-categories divided by the n-equivalences. We propose a list of properties that this simplicial category is likely to have, and conjecture that these properties characterize $L_n$ up to equivalence. We show, using these properties, how to obtain the morphism $n-1$-categories between two points in an object of $L_n$ and how to obtain the composition map between the morphism objects.

研究动机与目标

• 识别任何合理的$ n $-范畴理论应满足的最小结构性质集合。
• 提供一个基于Dwyer-Kan局部化的同伦框架，用于比较不同$ n $-范畴定义。
• 证明这些性质唯一确定了$ n $-范畴中映射对象之间的复合法则。
• 推测所有主要的$ n $-范畴定义（例如Tamsamani、Batanin、Leinster）均满足这些性质，从而在所提框架下暗示其等价性。
• 为独立于具体构造的$ n $-范畴的普遍刻画奠定基础。

提出的方法

• 使用Dwyer-Kan局部化从$ n $-范畴及其严格$ n $-等价性的1-范畴构造单纯范畴$ \mathcal{L}_n $。
• 将$ \mathcal{L}_n $定义为$ n $-范畴的$ n+1 $-范畴的1-群余内部，仅保留在高阶态射中的可逆性。
• 引入函子$ \Upsilon^k(E_1,\dots,E_k) $，通过映射空间的同伦余积来建模态射的序列复合。
• 确立关键等价性$ H(\Upsilon^k(E_1,\dots,E_k), \{0,k\}) \cong E_1 \times \cdots \times E_k $作为核心结构性质（性质10）。
• 利用伴随关系与余积的普遍性质，从$ \mathcal{L}_n $的结构推导出复合映射$ H(X,\{x,y\}) \times H(X,\{y,z\}) \to H(X,\{x,z\}) $。
• 提出由这些性质诱导的函子$ \mathcal{L}_n \to \mathcal{L}_{n,\text{Ta}} $为等价，从而暗示完全刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过一组统一的同伦与范畴论性质，刻画不同定义下$ n $-范畴理论？
• RQ2 对$ n $-范畴的1-范畴（模$ n $-等价性）进行Dwyer-Kan局部化，是否能产生一个用于比较$ n $-范畴理论的普遍不变量？
• RQ3 能否仅从局部化单纯范畴的结构性质中推导出$ n $-范畴中映射对象之间的复合法则？
• RQ4 已知的$ n $-范畴定义（如Tamsamani的）是否满足所提出的10个性质？若满足，是否意味着其等价性？
• RQ5 从$ \mathcal{L}_n $到Tamsamani $ n $-范畴局部化的函子是否为等价？这是否验证了所提出的刻画猜想？

主要发现

• $ n $-范畴中映射对象之间的复合映射是由Dwyer-Kan局部化单纯范畴$ \mathcal{L}_n $的结构性质推导得出。
• 性质10，即$ H(\Upsilon^k(E_1,\dots,E_k), \{0,k\}) \cong E_1 \times \cdots \times E_k $，被识别为核心结构条件，使复合构造成为可能。
• Tamsamani对$ n $-范畴的定义满足所提出的全部10个性质，为该猜想提供了强有力证据。
• 复合映射的构造仅依赖于单纯范畴结构与伴随关系，不依赖于特定模型。
• 若所有$ n $-范畴定义均满足这些性质，则其在Dwyer-Kan局部化下将等价，从而在同伦意义下解决比较问题。
• 该框架暗示存在一个函子$ \mathcal{L}_n \to \mathcal{L}_{n,\text{Ta}} $，若其为等价，则可通过所提性质完全刻画$ n $-范畴。