[论文解读] Limits in $n$-categories

Carlos Simpson|ArXiv.org|Aug 7, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 16

一句话总结

本文提出了一套统一的$n$-范畴极限框架，通过在纤维$n$-范畴中利用泛性质定义直接极限与逆极限，将范畴论极限与同伦论极限统一起来。关键结果证明了在$n+1$-范畴$nCAT'$中存在任意的逆极限与直接极限，将经典范畴论极限推广至更高同伦设定。

ABSTRACT

We define notions of direct and inverse limits in an $n$-category. We prove that the $n+1$-category $nCAT'$ of fibrant $n$-categories admits direct and inverse limits. At the end we speculate (without proofs) on some applications of the notion of limit, including homotopy fiber product and homotopy coproduct for $n$-categories, the notion of $n$-stack, representable functors, and finally on a somewhat different note, a notion of relative Malcev completion of the higher homotopy at a representation of the fundamental group.

研究动机与目标

• 开发$n$-范畴中极限的统一概念，统一范畴论极限与同伦论holim。
• 解决$n$-范畴同伦理论中对高阶极限缺乏系统处理的问题。
• 在纤维$n$-范畴的$n+1$-范畴$nCAT'$中建立逆极限与直接极限的存在性基础定理。
• 在高阶叠理论、可表示函子及同伦类型的相对Malcev完备化中提出应用。
• 通过$n$-范畴极限在经典范畴论与现代同伦代数之间建立概念性桥梁。

提出的方法

• 通过涉及$(n-1)$-范畴之间态射等价性的泛性质，在$n$-范畴$C$中定义直接极限与逆极限。
• 使用$n+1$-预范畴$\Upsilon^k(E_1,\ldots,E_k)$作为高维单形，其边上带有$n$-预范畴，作为极限构造的技术工具。
• 将$nCAT'$中的逆极限构造为$\operatorname{Hom}_{\underline{Hom}(A,C)}(\ast,\varphi)$，推广集合论中的逆极限。
• 对于直接极限，采用对偶技巧：构造一个参数化态射$\psi \to B$的辅助$n+1$-范畴$D$，然后取从$D \to nCAT'$的评估函子的逆极限。
• 通过限制到有界基数子范畴$D_\alpha$来处理集合论问题，以确保小性并避免基础障碍。
• 将该框架应用于通过适当$n+1$-范畴中的叠与群胚定义高阶同伦类型的相对Malcev完备化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将范畴论中经典极限概念推广至$n$-范畴，以纳入更高阶同伦信息？
• RQ2 在纤维$n$-范畴的$n+1$-范畴$nCAT'$中，逆极限与直接极限存在的条件是什么？
• RQ3 极限概念能否用于定义并研究同伦论中Malcev完备化的高阶类比？
• RQ4 $nCAT'$中的同伦余积与纤维积如何与$n$-范畴上的闭模型结构相关联？
• RQ5 在$n$-范畴中，可表示函子与内部态射函子的作用是什么，何时可通过极限构造？

主要发现

• 在$n+1$-范畴$nCAT'$中存在任意的逆极限与直接极限，推广了经典范畴论中在$\mathbf{Sets}$（即$n=0$情形）中极限的存在性。
• 在$nCAT'$中的逆极限构造为$\operatorname{Hom}_{\underline{Hom}(A,C)}(\ast,\varphi)$，通过态射$(n-1)$-范畴之间的等价性满足泛性质。
• 直接极限通过一个对偶技巧构造：通过构造一个参数化态射$\psi \to B$的范畴$D$，并取从$D \to nCAT'$的评估函子的逆极限，同时通过有界基数限制解决集合论问题。
• 空间$X$在表示$\rho$处的高阶同伦类型的相对Malcev完备化$Malc(X,\rho)$被定义为在$nCAT'$中对适当子范畴的$n$-群胚（其基本群为幂零群）取逆极限。
• 对于复数域$\mathbb{C}$上的代数簇$X$，其Betti、de Rham与Dolbeault版本的Malcev完备化自然等价：$Malc(X_B,\rho)/\mathbb{C} \cong Malc(X_{DR},P)/\mathbb{C} \cong Malc(X_{Dol},Q)/\mathbb{C}$。
• 推测地，$Malc(X_B,\rho)/\mathbb{R}$携带一个混合Hodge结构，而$Malc(X_B,\rho)/\mathbb{C}$携带一个混合twistor结构，将经典Hodge理论思想推广至高阶同伦类型。