[论文解读] Some remarks on a minimization problem associated to a fourth order nonlinear Schrödinger equation

Nabile Boussaïd, Antonio J. Fernández+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 36被引用 4

一句话总结

本文通过在固定 $L^2$-范数下分析能量泛函的约束极小化问题，研究了具有混合色散的四阶非线性薛定谔方程的驻波解的存在性与稳定性。关键贡献在于证明：当 $\beta>0$，$\sigma N=4$，且 $N\geq 5$ 时，对于小质量 $c>0$，极小化序列存在且在平移下预紧致，从而解决了浓度-紧致性论证中具有挑战性的消失情形。

ABSTRACT

Let $γ> 0\,$, $β> 0\,$, $α> 0$ and $0 < σN < 4$. In the present paper, we study, for $c > 0$ given, the constrained minimization problem \begin{equation*} \label{MinL2fixed} m(c):=\inf_{u\in S (c) }E(u), \end{equation*} where \begin{equation*} E (u):=\fracγ{2}\int_{\mathbb{R}^N}|Δu|^2\, dx -\fracβ{2}\int_{\mathbb{R}^N}| abla u|^2\, dx-\fracα{2σ+2}\int_{\mathbb{R}^N}|u|^{2σ+2}\, dx, \end{equation*} and \begin{equation*} S(c):=\left\{u\in H^2(\mathbb{R}^N):\int_{\mathbb{R}^N}|u|^{2}\, dx=c ight\}. \end{equation*} The aim of our study is twofold. On one hand, this minimization problem is related to the existence and orbital stability of standing waves for the mixed dispersion nonlinear biharmonic Schrödinger equation \begin{equation*} i \partial_t ψ-γΔ^2 ψ- βΔψ+ α|ψ|^{2σ} ψ=0, \quad ψ(0, x)=ψ_0 (x),\quad (t, x) \in \mathbb{R} imes \mathbb{R}^N. \end{equation*} On the other hand, in most of the applications of the Concentration-Compactness principle of P.-L. Lions, the difficult part is to deal with the possible dichotomy of the minimizing sequences. The problem under consideration provides an example for which, to rule out the dichotomy is rather standard while, to rule out the vanishing, here for $c > 0$ small, is challenging. We also provide, in the limit $c o 0$, a precise description of the behaviour of the minima. Finally, some extensions and open problems are proposed.

研究动机与目标

• 在具有混合色散的双调和非线性薛定谔方程背景下，建立能量泛函在固定 $L^2$-范数约束下的极小化器存在性。
• 解决在应用浓度-紧致性原理时的关键挑战——具体而言，排除 $\beta>0$ 时小质量 $c>0$ 情形下极小化序列的消失现象。
• 精确描述当 $c \to 0^+$ 时极小化器的渐近行为，包括关联拉格朗日乘子收敛至 $\beta^2/(4\gamma)$。
• 探讨线性算子 $\gamma\Delta^2 + \beta\Delta$ 的本质谱底部是否存在分岔现象的可能性。
• 将已知的临界质量现象结果推广至 $\beta>0$ 的情形，而此前的研究集中于 $\beta\leq 0$ 的情况。

提出的方法

• 建立约束极小化问题 $m(c) = \inf_{u \in S(c)} E(u)$，其中 $S(c)$ 是 $L^2$-范数为 $c$ 的 $H^2$ 函数集合，$E(u)$ 包含动能、势能和非线性项。
• 应用浓度-紧致性原理分析极小化序列，重点在于排除 $c \to 0^+$ 时的分歧与消失现象。
• 利用尺度变换和形如 $w_s(x) = s^{N/2} U(sx)$ 的测试函数（其中 $U$ 是极限问题的基态），分析 $E(w_s)$ 的行为，并证明小质量下的强制性。
• 在 $\sigma N = 4$ 且 $N \geq 5$ 时，利用 $E$ 在 $S(c)$ 上的强制性，证明当 $c < c_N^*$ 时，极小化序列在 $H^2(\mathbb{R}^N)$ 中平移下预紧致。
• 推导与极小化器相关的拉格朗日乘子 $\lambda$ 的下界，证明 $\lambda > \beta^2/(4\gamma)$，从而确认解从本质谱分岔。
• 使用变分技术和能量估计分析 $c \to 0^+$ 的极限，证明极小化器在 $H^2$-范数下收敛于零，且 $\lambda \to \beta^2/(4\gamma)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\gamma>0$，$\beta>0$，$\alpha>0$，$\sigma$ 和 $N$ 满足何种条件时，约束极小化问题 $m(c)$ 对小质量 $c>0$ 存在极小化器？
• RQ2 如何在 $\beta>0$ 情形下排除极小化序列的消失现象，该情形比 $\beta\leq 0$ 情形更具挑战性？
• RQ3 当 $c \to 0^+$ 时，极小化器及其关联拉格朗日乘子的渐近行为如何？
• RQ4 非线性方程在本质谱底部 $\lambda = \beta^2/(4\gamma)$ 是否发生分岔现象？
• RQ5 能否将极小化器存在性结果推广至 $\sigma N = 4$ 的质量临界情形，且 $\beta>0$？

主要发现

• 当 $\beta>0$，$\sigma N = 4$，且 $N \geq 5$ 时，对所有 $c < c_N^*$，泛函 $E$ 在 $S(c)$ 上具有强制性，从而保证小质量 $c>0$ 下极小化器的存在性。
• 对任意满足 $c < c_N^*$ 的 $m(c)$ 极小化序列，在 $H^2(\mathbb{R}^N)$ 中平移下预紧致，从而排除了消失与分歧现象。
• $m(c)$ 的极小化器 $u$ 满足 $\lambda > \beta^2/(4\gamma)$，确认解从线性算子的本质谱分岔。
• 当 $c \to 0^+$ 时，任意极小化器 $u_c$ 在 $H^2(\mathbb{R}^N)$-范数下收敛于零，且关联的拉格朗日乘子 $\lambda_c$ 收敛至 $\beta^2/(4\gamma)$。
• 临界质量阈值 $\tilde{c}$（在 $\beta<0$ 时存在）在 $\beta>0$ 时为零，表明对所有小质量 $c>0$，极小化器均存在。
• 本文猜想，分岔现象不仅出现在 $\sigma N < 4$ 的情形，也出现在 $\sigma \in (4/N, 1)$ 且 $\sigma N > 4$ 的情形，基于与先前结果的类比。