[论文解读] Some remarks on the staircasing phenomenon in total-variation based image denoising

Khalid Jalalzai|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2014

Medical Image Segmentation Techniques参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文证明了在基于总变差（TV）的图像去噪中，阶梯效应——即在总变差（TV）基图像去噪中人为产生的分段常数区域——在噪声输入数据和去噪图像最小化器的全局及局部极值处不可避免地出现。研究证明，对于径向图像，阶梯效应出现在极值点和图像边界处，并建立了ROF去噪模型与径向情况下的TV流之间的等价性，从而能够分析阶梯区域和不连续性随正则化参数λ的变化规律。

ABSTRACT

This paper deals with the so-called staircasing phenomenon, which frequently arises in total variation based denoising models in image analysis. We prove in particular that staircasing always occurs at global extrema of the datum and at all extrema of the minimizer. It is also shown that, for radial images, the staircasing always appears at the extrema and at the boundary of the image. We also prove the equivalence between the denoising model and the total variation flow, in the radial case, thus extending a previous result in dimension one. This equivalence cannot hold in the nonradial case, as it is shown with a counterexample. This connection allows us to understand how the staircase zones and the discontinuities of the denoising problem evolve with the regularization parameter.

研究动机与目标

• 分析连续总变差基图像去噪中阶梯效应的起源及其不可避免性。
• 研究ROF去噪模型与总变差流在高维情况下的等价性是否成立。
• 理解在连续设定下，阶梯区域和不连续性如何随正则化参数λ变化。
• 将已知的一维阶梯效应结果推广到更高维连续情形，特别是针对径向数据。

提出的方法

• 利用欧拉-拉格朗日方程和BV函数的性质，证明阶梯效应在数据和最小化器的全局及局部极值处始终发生。
• 通过共面积公式和径向最小化器的结构，建立ROF去噪模型与径向情况下TV流之间的联系。
• 利用该等价性推导出单调性性质：不连续性形成递减序列，而阶梯区域随λ增大而扩展。
• 通过反例表明，ROF–TV流等价性在非径向函数中一般不成立。
• 将TV流理论中的已知结果（如不连续性集合的包含性原理）应用于径向设定下的ROF模型。
• 采用变分分析和总变差泛函次微分理论，刻画最小化器的结构特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 在连续TV去噪模型中，阶梯效应是否总发生在输入数据和去噪图像的极值处？
• RQ2 在高维情况下，特别是对于径向函数，ROF去噪模型与总变差流之间是否存在等价性？
• RQ3 随着正则化参数λ增大，阶梯区域的大小和不连续性位置如何变化？
• RQ4 在一维中观察到的不连续性集合和阶梯区域的单调性，能否推广到高维径向图像？
• RQ5 径向对称性在实现ROF去噪与TV流等价性中起到什么作用？

主要发现

• 在连续ROF模型中，阶梯效应总发生在噪声输入数据的全局及局部极值点，以及最小化器的所有极值点处。
• 对于径向图像，由于径向对称性及最小化器的结构，阶梯效应出现在极值点和图像边界处。
• 证明了在径向情况下，ROF去噪模型与总变差流之间存在等价性，扩展了一维情形下的已知结果。
• 随着正则化参数λ增大，最小化器中不连续性集合形成递减序列，而阶梯区域的大小随之增加。
• 包含性原理成立：当μ > λ ≥ 0时，满足|zλ| < λ的集合被包含于μ对应集合中，意味着λ越大，平坦区域越大。
• Allard的反例表明，ROF–TV流等价性在一般非径向函数中不成立，凸显了径向对称性对等价性成立的必要性。