[论文解读] Some remarks on topological full groups of Cantor minimal systems II

Hiroki Matui|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用 9

一句话总结

本文证明了极小子移位的拓扑全群的换位子群具有指数增长，并证明了可测全群在可数、保测度、遍历且超有限的等价关系下由两个元素拓扑生成。这些结果通过在康托极小系统和斯特鲁米安移位的背景下对拓扑全群及其子群的群论分析得出。

ABSTRACT

We prove that commutator subgroups of topological full groups arising from minimal subshifts have exponential growth. We also prove that the measurable full group associated to the countable, measure-preserving, ergodic and hyperfinite equivalence relation is topologically generated by two elements.

研究动机与目标

• 研究康托极小系统中拓扑全群的换位子群的生长性质。
• 确定与超有限、保测度、遍历等价关系相关的可测全群的最小拓扑生成元数量。
• 阐明拓扑全群的代数结构，特别是与斯特鲁米安移位和 odometer 的关系。
• 在全群的群生成与可乘性背景下，扩展先前关于动力系统全群的结果。

提出的方法

• 通过连续上循环函数 c:X→Z 分析康托极小系统的拓扑全群 [[φ]]，使得 ψ(x) = φ^{c(x)}(x)。
• 应用群论技术证明：当且仅当 φ 不是 odometer 时，D([[φ]]) 包含灯夫群。
• 利用斯特鲁米安移位和紧开集动力学的结构，构造两个元素生成换位子群的稠密子群。
• 利用 [[φ]] 在均匀拓扑下在可测全群 [E] 中稠密的事实，将群生成结果从拓扑设置转移到可测设置。
• 应用 [10] 和 [9] 中关于群生成与代价的结果，以细化拓扑生成元数量的界限。
• 在 Aut(X,μ) 上使用均匀拓扑及度量 d(f,g) = μ({x | f(x) = g(x)}) 分析闭包与稠密性性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 极小子移位的拓扑全群的换位子群是否具有指数增长？
• RQ2 可测全群是否可由两个元素拓扑生成？
• RQ3 [[φ]] 的代数结构与系统动力类型（如 odometer 与子移位）之间有何关系？
• RQ4 D([[φ]]) 中是否存在灯夫群，如何与群的生长类型相关联？
• RQ5 具有有限代价或来自自由群作用的等价关系的可测全群的最小拓扑生成元数量是多少？

主要发现

• 极小子移位的拓扑全群的换位子群 D([[φ]]) 具有指数增长，因为其包含灯夫群。
• 对于斯特鲁米安移位，换位子群 D([[φ]]) 包含于由两个元素生成的子群中，这意味着相关等价关系的可测全群由两个元素拓扑生成。
• 可数、保测度、遍历且超有限的等价关系的可测全群 [E] 由两个元素拓扑生成，从而正面回答了 [9, 问题 4.3]。
• 当且仅当 φ 是有限字母上的极小子移位时，换位子群 D([[φ]]) 是有限生成的，确认了其结构上的二分性。
• 任何 odometer 的拓扑全群的有限生成子群具有多项式增长，与子移位中的指数增长形成对比。
• 在均匀拓扑下，[[φ]] 在可测全群 [E] 中稠密，使得可从拓扑设置向可测设置转移群生成结果。