[论文解读] Some results about the geometric Whittaker model

Roman Bezrukavnikov, Alexander Braverman+1 more|ScholarWorks@UMassAmherst (University of Massachusetts Amherst)|Oct 16, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文在正特征的几何朗兰兹纲领中，建立了关于非退化特征 χ:U→G_a 的 ℓ-进层的平均化函子与 Verdier 对偶性可交换的条件。它在两种情形下证明了这一点：(1) 当 χ 为强非退化时，对任意 G-概形上的 ${\overline{P}}$-等变层；(2) 当 P 为 Borel 子群时，对 G 本身上关于伴随作用等变的层，从而证实了 B. C. Ngo 的一个猜想。关键结果是在这些条件下，!-平均化与 *-平均化函子之间存在同构。

ABSTRACT

Let G be an algebraic reductive group over a an algebraically closed field of positive characteristic. Choose a parabolic subgroup $P$ in $G$ and denote by $U$ its unipotent radical. Let $X$ be a $G$-variety. The purpose of this paper is to give two examples of a situation in which the functor of averaging of l-adic sheaves on $X$ with respect to a generic character of $U$ commutes with Verdier duality. In the first example we take $χ$ to be an arbitrary $G$-variety and we prove the above property for all $\overline{P}$-equivariant sheaves on $X$ where $\overline{P}$ is an opposite parabolic subgroup assuming $χ$ satisfies a strong nondegeneracy condition (such a $χ$ exists for some but not all choices of $P$). In the case when $P$ is a Borel subgroup it is enough to require that the sheaf in question is $\overline{U}$ equivariant where $\overline{U}$ is the unipotent radical of $\overline{P}$. In the second example we take $X = G$ where $G$ acts by left translations and we prove the corresponding result when $P$ is a Borel subgroup for sheaves equivariant under the adjoint action of $G$ (the latter result was conjectured by B. C. Ngo who proved it for $G = GL(n)$). As an application we reprove a theorem of N. Katz and G. Laumon about local acyclicity of the kernel of the Fourier-Deligne transform.

研究动机与目标

• 建立在正特征下，关于字符 χ:U→G_a 的 ℓ-进层的平均化函子与 Verdier 对偶性可交换的条件。
• 证明在正特征域上，对任意半单代数群 G 满足 p>h，当字符 χ 非退化时，!-平均化与 *-平均化函子同构。
• 验证 B. C. Ngo 的一个猜想：当 P 为 Borel 子群时，G 上关于伴随作用等变的层，其平均化函子与 Verdier 对偶性可交换。
• 利用对偶性可交换的性质，重新证明 N. Katz 与 G. Laumon 关于傅里叶-德利涅变换核的局部消去定理。

提出的方法

• 使用几何 Satake 对应及在 k-概形 S 的 ℓ-进层的导出范畴 D^b(S) 中的 perverse 层理论。
• 通过乘法映射 m:G×G→G 定义卷积函子 ⋆ 与 ∗。
• 通过关联元素 e_χ∈Lie(U_{{\overline{P}}}) 定义非退化字符 χ:U→G_a，并利用其双有理 Richardson 性质。
• 利用 U 与 G/{\overline{P}} 中开轨道 Y_{{\overline{P}}}^0 的同构，通过共轭作用在 W_{{\overline{P}}}^0 上定义新的 G-作用。
• 应用引理 3.6，证明平均化函子在共轭作用变换下不变，从而可约化到标准作用。
• 利用伴随作用下的等变性及旗流形的结构，证明 !-与 *-平均化函子之间的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，关于字符 χ:U→G_a 的 ℓ-进层在 G-概形上的平均化函子与 Verdier 对偶性可交换？
• RQ2 当层在 G 自身的伴随作用下等变时，!-平均化函子与 *-平均化函子在何种条件下同构？
• RQ3 χ 的非退化性是否意味着关联元素 e_χ∈Lie(U_{{\overline{P}}}) 是双有理 Richardson 的？
• RQ4 能否利用对偶性可交换的平均化函子性质，重新证明傅里叶-德利涅变换核的局部消去性？
• RQ5 !-与 *-平均化函子之间的同构是否对任意抛物子群 P 成立，还是仅在特定条件下成立？

主要发现

• 当 χ 为强非退化时，对任意 G-概形 X 上的 ${\overline{P}}$-等变层，平均化函子 Av_{U,χ,!} 与 Av_{U,χ,*} 同构。
• 当 P 为 Borel 子群时，该同构对所有 ${\overline{U}}$-等变层成立，其条件弱于 ${\overline{P}}$-等变性。
• 在 X=G 且作用为伴随作用的情形下，对所有非退化的 χ，同构 Av_{U,χ,!}≅Av_{U,χ,*} 成立，从而证实了 B. C. Ngo 的猜想。
• 字符 χ 非退化当且仅当关联元素 e_χ∈Lie(U_{{\overline{P}}}) 是双有理 Richardson 的。
• 利用共轭诱导作用与引理 3.6 的技术，可将问题约化到标准作用，从而应用定理 1.5(2) 推出同构。
• 通过平均化函子的对偶性可交换性质，重新证明了 N. Katz 与 G. Laumon 关于傅里叶-德利涅变换核的局部消去定理。