[论文解读] Some Results on an Affine Obstruction to Reach Control

Melkior Ornik, Mireille E. Broucke|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2015

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文通过建立一个几何圆锥条件，证明了在二维和三维仿射系统中，使用仿射反馈求解可达性控制问题（RCP）的必要条件。研究证明，当且仅当与控制子空间和外法向量相关的特定几何构型允许在单纯形内部存在非零向量场时，存在满足圆锥条件且避免平衡点的仿射反馈，从而解决了低维情况下的仿射障碍问题。

ABSTRACT

This ArXiv paper is a supplement to [7] and contains proofs of preliminary claims omitted in [7] for lack of space. The paper deals with exploring a necessary condition for solvability of the Reach Control Problem (RCP) using affine feedback. The goal of the RCP is to drive the states of an affine control system to a given facet of a simplex without first exiting the simplex through other facets. In analogy to the problem of a topological obstruction to the RCP for continuous state feedback studied in [7], this paper formulates the problem of an affine obstruction and solves it in the case of two- and three-dimensional systems. An appealing geometric cone condition is identified as the new necessary condition.

研究动机与目标

• 确定使用仿射状态反馈求解可达性控制问题（RCP）的必要条件。
• 制定并解决二维和三维系统中RCP的仿射障碍问题。
• 建立几何圆锥条件作为存在避免单纯形内平衡点的仿射反馈的关键判据。
• 为低维情况下的仿射反馈问题可解性提供构造性证明，补充先前的拓扑结果。
• 解决三维情况下控制子空间与单纯形相交于一个不满足先前条件的二维集合的剩余开放情况。

提出的方法

• 将RCP表述为寻找仿射反馈的问题，使轨迹到达出口面而不从其他面离开。
• 在单纯形内每一点 $x$ 定义指向内部的锥体 $\mathcal{C}(x)$，表示保持在内部或从 $\mathcal{F}_0$ 离开的方向。
• 将集合 $\mathcal{O}_{\mathcal{S}} = \mathcal{S} \cap \{x \mid Ax + a \in \mathrm{Im}(B)\}$ 识别为在仿射反馈下闭环平衡点的唯一可能位置。
• 要求存在一个仿射映射 $f: \mathcal{O}_{\mathcal{S}} \to \mathrm{Im}(B)$，使得对所有 $x \in \mathcal{O}_{\mathcal{S}}$，有 $f(x) \in \mathcal{C}(x)$ 且 $f(x) \neq 0$。
• 通过在 $\mathcal{O}_{\mathcal{S}}$ 的顶点处分配满足圆锥条件且线性无关的向量，利用线性代数在二维和三维情况下构造此类映射。
• 使用扰动技术（例如 $b_1' = b_1 - c b_2$）在初始向量不满足圆锥条件时确保可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何条件下，存在避免平衡点并满足单纯形内圆锥条件的仿射反馈？
• RQ2 在二维和三维系统中，能否构造性地解决RCP的仿射障碍问题？
• RQ3 控制子空间 $\mathrm{Im}(B)$ 和外法向量 $h_j$ 在通过仿射反馈确定RCP可解性方面起什么作用？
• RQ4 如何系统地构造一个满足圆锥条件且在 $\mathcal{O}_{\mathcal{S}}$ 上处处非零的仿射反馈映射？
• RQ5 当三维情况下 $\dim \mathcal{O}_{\mathcal{S}} = 2$ 且 $\dim \mathcal{B} = 2$ 时，RCP的可解性状态如何，排除先前定理已覆盖的情况？

主要发现

• 当控制子空间与外法向量满足特定几何构型时，存在满足圆锥条件且避免单纯形内平衡点的仿射反馈，特别是当 $B$ 的像为二维且 $\mathcal{O}_{\mathcal{S}}$ 为不满足先前定理的二维集合时。
• 本文通过在 $\mathcal{O}_{\mathcal{S}}$ 的顶点处分配位于各自指向内部锥体内的向量并使其线性无关，显式构造了三维情况下的仿射反馈映射，确保其非零性。
• 通过使用 $b_1' = b_1 - c b_2$ 的扰动技术，即使初始控制向量不满足圆锥条件（特别是当 $b_1 \cdot h_1 = 0$ 或 $b_2 \cdot h_1 = 0$ 时），也能构造出有效反馈。
• 由于映射的仿射性质和圆锥条件的凸性，该解可从顶点扩展至整个 $\mathcal{O}_{\mathcal{S}}$。
• 本文解决了三维情况下的最后一个开放问题，证明当 $\dim \mathcal{O}_{\mathcal{S}} = 2$、$\dim \mathcal{B} = 2$ 且 $v_0 \notin \mathcal{O}_{\mathcal{S}}$ 时，只要不满足定理15的条件，仿射障碍问题即可求解。
• 关键结果是此类反馈的存在性等价于在 $\mathcal{O}_{\mathcal{S}}$ 内存在一个非零向量场，且在每一点 $x$ 处该向量位于锥体 $\mathcal{C}(x)$ 内，该结果通过线性代数被构造性地确立。