[论文解读] Some results on homology of Leibniz and Lie n-algebras

J. M. Casas, Emzar Khmaladze+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文通过半阿贝尔同调与范畴伽罗瓦理论，建立了一个用于计算李代数和李 $n$-代数同调的范畴框架。它为这两种结构提供了高阶霍普夫公式，并引入了相对于李 $n$-代数子范畴的相对同调，证明了在完美性条件下普遍存在普遍中心扩张。

ABSTRACT

From the viewpoint of semi-abelian homology, some recent results on homology of Leibniz n-algebras can be explained categorically. In parallel with these results, we develop an analogous theory for Lie n-algebras. We also consider the relative case: homology of Leibniz n-algebras relative to the subvariety of Lie n-algebras.

研究动机与目标

• 通过半阿贝尔同调代数发展一个统一的范畴框架，用于计算李代数和李 $n$-代数的同调。
• 通过范畴伽罗瓦理论，克服李 $n$-代数情形下缺乏类似 $\mathsf{d}_{n-1}$ 的函子的问题。
• 在李代数和李 $n$-代数中，对 $m$-重中心扩张进行范畴化表征，以支持高阶同调计算。
• 利用中心扩张推导出李代数和李 $n$-代数中同调的高阶霍普夫公式。
• 定义并研究李 $n$-代数子范畴下李 $n$-代数的相对同调。

提出的方法

• 采用半阿贝尔范畴的框架，通过余单子同调与范畴伽罗瓦理论推广同调理论。
• 使用 Moore 泛化函子 $N$，为单纯对象定义同调对象 $H_m(A, I)_{\mathbb{G}} = H_m(NI\mathbb{G}A)$。
• 通过上拉稳定性与中心性条件，表征 ${}_{n}\mathsf{Lb}$ 与 ${}_{n}\mathsf{Lie}$ 中的 $m$-重中心扩张。
• 应用高阶中心扩张，推导出同调的高阶霍普夫公式，取代 Čech 导出函子。
• 通过核消失条件构造普遍中心扩张：在李 $n$-代数情形下，$H_1 = H_2 = 0$。
• 建立一个短正合序列，通过李 $n$-代数与李 $n$-代数之间普遍中心扩张的满射 $f$，关联两者的同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏类似 $\mathsf{d}_{n-1}$ 的函子的情形下，如何系统地定义并计算李 $n$-代数的同调？
• RQ2 李代数和李 $n$-代数范畴中 $m$-重中心扩张的范畴表征是什么？
• RQ3 能否使用相同的范畴工具，为李代数和李 $n$-代数推导出高阶霍普夫公式？
• RQ4 李 $n$-代数子范畴下李 $n$-代数的相对同调结构如何？
• RQ5 在完美性条件下，李代数与李 $n$-代数设定中普遍中心扩张之间有何关系？

主要发现

• 通过范畴伽罗瓦理论，李 $n$-代数的高阶霍普夫公式被恢复，证实其与 Quillen 同调等价。
• 在 ${}_{n}\mathsf{Lb}$ 中提供了 $m$-重中心扩张的表征（命题 3.4 与 3.6），使得可通过中心扩张进行同调计算。
• 在 ${}_{n}\mathsf{Lie}$ 中建立了类似的中心扩张表征（命题 4.1），从而可推导出高阶霍普夫公式（定理 4.2）。
• 通过中心扩张表征了李 $n$-代数子范畴下李 $n$-代数的相对同调（命题 5.4 与 5.6），得出相对霍普夫公式（定理 5.7）。
• 当且仅当 $H_1(\mathscr{L},{}_{n}\mathsf{lie})_{\mathbb{G}} = H_2(\mathscr{L},{}_{n}\mathsf{lie})_{\mathbb{G}} = 0$ 时，李 $n$-代数 $\mathscr{L}$ 存在普遍 ${}_{n}\mathsf{Lie}$-中心扩张（命题 6.6）。
• 在李代数与李 $n$-代数的普遍中心扩张同调群之间建立了一个短正合序列，其核同构于同调群的 $n$-元换位子（命题 6.7）。