[论文解读] Some results on the penalised nematic liquid crystals driven by multiplicative noise

Zdzisław Brzeźniak, Erika Hausenblas+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2013

Stochastic processes and financial applications被引用 13

一句话总结

本文建立了在乘性噪声下惩罚型向列液晶的随机偏微分方程系统解的存在性与唯一性。在二维情形下，证明了全局弱解与路径唯一性，以及局部强解在二维情形下为全局解，采用了一般多项式替换标准的吉茨堡-朗道惩罚项，并在混合巴拿赫空间中提出了一种新颖的不动点方法。

ABSTRACT

In this paper we prove several results related to the existence and uniqueness of solution to coupled highly nonlinear stochastic partial differential equations (PDEs). These equations are motivated by the dynamics of nematic liquid crystals under the influence of stochastic external forces. Firstly, we prove the existence of global weak solution (in sense of both stochastic analysis and PDEs). We show the pathwise uniqueness of the solution in 2D domain. Secondly, we establish the existence and uniqueness of local maximal solution which is strong in sense of both PDEs and stochastic analysis. In the 2D case, we show that this solution is global. In contrast to several works in the deterministic setting we replace the Ginzburg-Landau function ${1}_{\lvert \mathbf{n} vert \le 1}(\lvert \mathbf{n} vert^2-1)\mathbf{n}$ by a general polynomial $f(\mathbf{n})$ and we give sufficient conditions on the polynomial $f$ for the aforementioned results to hold. As a by-product of our investigation we present a general method based on fixed point argument to establish the existence and uniqueness of a local maximal solution of an abstract stochastic evolution equations with coefficients satisfying local Lipschitz condition involving the norms of two different Banach spaces. This general method can be used to treat several stochastic hydrodynamical models such as Navier-Stokes, Magnetohydrodynamic (MHD) equations, and the $α$-models of Navier-Stokes equations and their MHD counterparts.

研究动机与目标

• 建立在乘性噪声下随机向列液晶模型解的存在性与唯一性。
• 通过用一般多项式 $ f(\mathbf{n}) $ 替代标准的吉茨堡-朗道惩罚项，推广标准的吉茨堡-朗道惩罚项，并确定使问题适定的 $ f $ 的充分条件。
• 为满足在两个不同巴拿赫空间中局部利普希茨条件的抽象随机演化方程，发展一种通用的不动点方法。
• 将该方法扩展至处理各类随机流体动力学模型，包括纳维-斯托克斯方程、磁流体动力学（MHD）方程以及 $\alpha$-模型。
• 在二维情形下证明路径唯一性及解的全局存在性，克服了非抛物性与高非线性带来的挑战。

提出的方法

• 建立具有乘性噪声的向列液晶惩罚型随机系统，将标准的 $ \mathbf{n}(|\mathbf{n}|^2 - 1) $ 替换为一般多项式 $ f(\mathbf{n}) $。
• 在适当的巴拿赫空间乘积空间中应用不动点论证，证明局部最大解的存在性与唯一性。
• 利用伊tô公式与带加权指数鞅因子 $ \Phi(t) = \exp\left(-\int_0^t \phi(s)ds\right) $ 的能量估计，控制解的增长。
• 利用伯克霍尔德-戴维斯-冈迪不等式与杨不等式处理随机积分并控制噪声项。
• 对能量估计应用格朗沃尔不等式，推导矩界并建立路径唯一性。
• 利用系统的结构及惩罚项的性质，确保解保持在适当的函数空间中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种多项式 $ f(\mathbf{n}) $ 条件下，向列液晶的惩罚型随机系统在乘性噪声下存在全局弱解？
• RQ2 在二维区域中，对于具有乘性噪声的随机向列液晶系统，能否建立路径唯一性？
• RQ3 对于满足在两个巴拿赫空间中局部利普希茨条件的抽象随机PDE，可采用何种通用方法证明局部最大解的存在性与唯一性？
• RQ4 将标准的吉茨堡-朗道惩罚项替换为一般多项式后，对系统适定性有何影响？
• RQ5 随机向列液晶系统的局部强解在二维情形下是否为全局解？

主要发现

• 本文证明了在二维与三维区域中，惩罚型随机向列液晶系统存在全局弱解。
• 在二维情形下建立了解的路径唯一性，结合局部强解的存在性，意味着解在二维情形下为全局存在。
• 在多项式 $ f(\mathbf{n}) $ 的温和条件下，存在唯一局部最大强解，其在随机分析与PDE意义下均唯一。
• 解在二维情形下为全局解，将适定性结果扩展至整个时间区间 $ (0,T] $，在给定假设下成立。
• 作者提供了多项式 $ f(\mathbf{n}) $ 的充分条件，如多项式增长与正则性，以确保解的存在性与唯一性。
• 提出并应用了一种通用的不动点方法于抽象随机演化方程，该方法可用于分析具有乘性噪声的纳维-斯托克斯方程、MHD方程及 $\alpha$-模型。