[论文解读] SOS-Convex Lyapunov Functions and Stability of Difference Inclusions

Amir Ali Ahmadi, Raphaël M. Jungers|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2018

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 38被引用 6

一句话总结

本文引入了SOS-凸李雅普诺夫函数——即具有和平方证书的凸性证明的多项式李雅普诺夫函数——通过半定规划实现对差分包含（离散时间切换系统）的高效稳定性分析。证明了此类函数对于切换线性系统的稳定性是必要且充分的，同时表明与非凸多项式李雅普诺夫函数相比，凸性可能显著提高所需的最小次数。

ABSTRACT

We introduce the concept of sos-convex Lyapunov functions for stability analysis of both linear and nonlinear difference inclusions (also known as discrete-time switched systems). These are polynomial Lyapunov functions that have an algebraic certificate of convexity and that can be efficiently found via semidefinite programming. We prove that sos-convex Lyapunov functions are universal (i.e., necessary and sufficient) for stability analysis of switched linear systems. We show via an explicit example however that the minimum degree of a convex polynomial Lyapunov function can be arbitrarily higher than a non-convex polynomial Lyapunov function. In the case of switched nonlinear systems, we prove that existence of a common non-convex Lyapunov function does not imply stability, but existence of a common convex Lyapunov function does. We then provide a semidefinite programming-based procedure for computing a full-dimensional subset of the region of attraction of equilibrium points of switched polynomial systems, under the condition that their linearization be stable. We conclude by showing that our semidefinite program can be extended to search for Lyapunov functions that are pointwise maxima of sos-convex polynomials.

研究动机与目标

• 开发一种计算上可行的方法，利用凸多项式李雅普诺夫函数验证切换线性与非线性系统的稳定性。
• 确定是否存在一个公共凸多项式李雅普诺夫函数，是否为切换线性系统稳定性的必要且充分条件。
• 研究凸性与多项式李雅普诺夫函数最小次数之间的权衡。
• 将该方法扩展至计算切换多项式系统的吸引域的全维子集。
• 探索利用SOS-凸多项式的逐点最大值作为非线性切换系统的公共李雅普诺夫函数的可能性。

提出的方法

• 引入SOS-凸李雅普诺夫函数的概念——即既是非负的，又可通过其Hessian矩阵的和平方表示来证明凸性的多项式。
• 通过要求李雅普诺夫函数为正定，且其在所有系统动态下的递减条件通过和平方约束表达，将稳定性条件表述为半定规划（SDP）。
• 证明对于切换线性系统，存在一个公共SOS-凸李雅普诺夫函数当且仅当系统在任意切换下渐近稳定，从而确立该方法的普适性。
• 通过求解一个SDP来构造吸引域的估计，该SDP强制李雅普诺夫函数为正定，且其次水平集为不变集，使用参数化的李雅普诺夫函数族。
• 提出一种方法，通过搜索多个SOS-凸多项式的逐点最大值来构造公共李雅普诺夫函数，并利用路径完备图理论进行稳定性认证。
• 利用如下事实：若每个 $ V_j $ 满足 $ V_j(f_i(x)) < V_k(x) $ 对某个 $ k $ 成立，则 $ W(x) = \max_j V_j(x) $ 是一个公共李雅普诺夫函数，且可通过SOS条件表达这些不等式以实现计算可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个公共凸多项式李雅普诺夫函数，是切换线性系统稳定性的必要且充分条件？
• RQ2 对于同一系统，凸多项式李雅普诺夫函数的最小次数与非凸函数相比如何？
• RQ3 能否利用李雅普诺夫函数的凸性来计算切换多项式系统吸引域的全维子集？
• RQ4 当非凸李雅普诺夫函数失效时，是否仍能利用公共凸李雅普诺夫函数来认证非线性切换系统的稳定性？
• RQ5 能否将公共李雅普诺夫函数构造为多个SOS-凸多项式的逐点最大值，以及如何通过半定规划验证这一构造？

主要发现

• 对于切换线性系统，存在一个公共SOS-凸李雅普诺夫函数当且仅当系统在任意切换下渐近稳定，从而确立了该方法的普适性。
• 即使对于稳定系统，凸多项式李雅普诺夫函数的最小次数也可能远高于非凸版本，其差距可任意增大。
• 存在一个公共凸李雅普诺夫函数可推出切换非线性系统的稳定性，而存在非凸李雅普诺夫函数则不能保证。
• 当系统的线性化稳定时，可构造一个半定规划来计算切换多项式系统吸引域的全维子集。
• 若对每个 $ i,j $，存在 $ k $ 使得对所有 $ x \neq 0 $ 有 $ V_j(f_i(x)) < V_k(x) $，则 $ K $ 个SOS-凸李雅普诺夫函数 $ V_1, \dots, V_K $ 的逐点最大值 $ W(x) = \max_j V_j(x) $ 是一个公共李雅普诺夫函数，且该条件可通过SOS约束强制实现。
• 所提出的方法为稳定性认证生成 $ K^{m^2} $ 种不同的SDP公式，每种对应路径完备图框架中不同的转移索引选择。